2018届高三数学一轮复习-第七章-不等式-第一节-不等关系与不等式-文

文数课标版第一节不等关系与不等式教材研读 1.两个实数比较大小的方法(1)作差法(a,b∈R): 0,0,0.abababababab①　　②　　③　　(2)作商法(a∈R,b∈R+): 1,1,1.aabbaabbaabb④　　⑤　　⑥　　2.不等式的基本性质性质性质内容注意对称性ab⇔⑦ba⇔传递性ab,bc⇒⑧ac⇒可加性ab⇔⑨a+cb+c⇔可乘性 ⇒ acbcc的符号 ⇒ acbc同向可加性 ⇒ a+cb+d⇒同向同正可乘性 ⇒ acbd⇒可乘方性ab0⇒ anbn(n∈N,n≥1)同正可开方性ab0⇒  (n∈N,n≥2)abc0abc0abcdab0cd0nanb3.不等式的一些常用性质(1)倒数性质(i)ab,ab0⇒   .(ii)a0b⇒   .(iii)ab0,0cd⇒   .(iv)0axb或axb0⇒     .(2)有关分式的性质若ab0,m0,则(i)  ;  (b-m0).(ii)  ;  (b-m0).1a1b1a1bacbd1b1x1ababmambabmamabambmabambm判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)ab⇔ac2bc2. (×)(2)  ⇔ab(ab≠0). (×)(3)ab,cd⇒acbd. (×)(4)若  0,则|a||b|. (×)(5)若ab,则a2b2. (×) 1a1b1a1b1.已知ab,cd,且c,d不为0,那么下列不等式成立的是 ()A.adbcB.acbdC.a-cb-dD.a+cb+d答案D由不等式的性质知,ab,cd⇒a+cb+d.2.已知a,b,c∈R,则“ab”是“ac2bc2”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案Bac2bc2⇒ab,但当c=0时,ab⇒/ac2bc2.故“ab”是“ac2bc2”的必要不充分条件.3.如果ab0,那么下列不等式成立的是 ()A.  B.abb2C.-ab-a2D.- - 答案D解法一(性质判断):由ab0,得b-a0,ab0,故 - = 0,  ,故A项错误;由ab0,得b(a-b)0,abb2,故B项错误;由ab0,得a(a-b)0,a2ab,即-ab-a2,故C项错误;由ab0,得a-b0,ab0,故- - = 0,- - 成立,故选D.解法二(特殊值法):令a=-2,b=-1,则 =-  =-1,ab=2b2=1,-ab=-2-a2=-4,- = - =1.故A、B、C项错误,D项正确.1a1b1a1b1a1bbaab1a1b1a1babab1a1b1a121b1a121b4.设a,b∈[0,+∞),A= + ,B= ,则A,B的大小关系是 ()A.A≤BB.A≥BC.ABD.AB答案B由题意得,B2-A2=-2 ≤0,且A≥0,B≥0,可得A≥B.ababab5.已知-2a-1,-3b-2,则a-b的取值范围是,a2+b2的取值范围是.答案(0,2);(5,13)解析∵-2a-1,-3b-2,∴2-b3,1a24,4b29.∴0a-b2,5a2+b213.考点一比较两个数(式)的大小典例1(1)已知a1,a2∈(0,1).记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是 ()A.MNB.MNC.M=ND.不确定(2)若a= ,b= ,则ab(填“”或“”).答案(1)B(2)ln22ln33考点突破解析(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1),∵a1,a2∈(0,1),∴(a1-1)(a2-1)0,∴MN.故选B.(2)易知a,b都是正数, = =log891,所以ba.ba2ln33ln2方法技巧比较两数(式)大小的三种常用方法(1)作差法:一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正时,有时也可以先平方再作差.(2)作商法:一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论.(3)特值法:若是选择题、填空题,可以用特值法比较大小;若是解答题,可先用特值探究思路,再用作差或作商法判断.1-1当x≥-1时,设A= ,B=1+ ,则A、B的大小关系为 ()A.A≥BB.ABC.A≤BD.AB答案C∵x≥-1,∴ ≥0,1+ 0.∴A2-B2=( )2- =1+x- =- ≤0.∴A2≤B2,由于A≥0,B≥0,∴A≤B.故选C.1x2x1x2x1x212x214xx24x1-2若a1a2,b1b2,则a1b1+a2b2与a1b2+a2b1的大小关系是.答案a1b1+a2b2a1b2+a2b1解析作差可得(a1b1+a2b2)-(a1b2+a2b1)=(a1-a2)·(b1-b2).∵a1a2,b1b2,∴(a1-a2)(b1-b2)0,即a1b1+a2b2a1b2+a2b1.考点二不等式的性质及应用典例2(1)(2016湖南衡阳八中月考)若ab0,则下列不等式中不成立的是 ()A.|a||b|B.  C.  D.a2b2(2)对于实数a,b,c,有以下命题:①若ab,则acbc;②若ac2bc2,则ab;③若ab0,则a2abb2;④若cab0,则  ;⑤若ab,  ,则a0,b0.其中真命题的个数是 ()A.2B.3C.4D.5答案(1)B(2)C解析(1)由不等式的性质可得|a||b|,a2b2,  成立.假设  成立,1ab1a1a1bacabcb1a1b1a1b1ab1a由ab0得a-b0,∴a(a-b)0,由  ⇒a(a-b)·  ·a(a-b)⇒aa-b⇒b0,与已知矛盾,故选B.(2)①中,c的符号不确定,故ac,bc的大小关系也不能确定,故为假命题.②中,由ac2bc2知c≠0,∴c20,∴ab,故为真命题.③中,由 可得abb2,由 可得a2ab,∴a2abb2,故为真命题.④中,由ab得-a-b,∴c-ac-b,又ca,∴0c-ac-b,∴  0.又ab0,∴  ,故为真命题.1ab1a1ab1a,0abb,0aba1ca1cbacabcb⑤中,由ab得a-b0,由  得 0,又b-a0,∴ab0,而ab,∴a0,b0,故为真命题.综上可得,真命题有4个.1a1bbaab规律总结1.判断不等式是否成立,需要给出推理判断或举出反例(判定不等式不成立).进行推理判断常需要利用不等式的性质.2.在判断一个关于不等式的命题真假时,先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假,当然判断的同时还可能用到其他知识,比如对数函数的性质,指数函数的性质等.2-1(2017贵州遵义模拟)已知  0,给出下列四个结论:①ab;②a+bab;③|a||b|;④abb2.其中正确结论的序号是 ()A.①②B.②③C.②④D.③④答案C∵  0,∴ba0,∴|a||b|,abb2,a+b0,ab0,∴a+bab,∴②④正确,①③错误.故选C.1a1b1a1b2-2若a0b-a,cd0,则下列结论:①adbc;② + 0;③a-cb-d;④a(d-c)b(d-c)成立的个数是 ()A.1B.2C.3D.4答案C∵a0b,cd0,∴ad0,bc0,∴adbc,故①错误.∵0b-a,∴a-b0,∵cd0,∴-c-d0,cd0,∴a(-c)(-b)(-d),∴ac+bd0,∴ + = 0,故②正确.adbcadbcacbdcd∵cd,∴-c-d,又∵ab,∴a+(-c)b+(-d),即a-cb-d,故③正确.∵ab,d-c0,∴a(d-c)b(d-c),故④正确,故选C.考点三与不等式有关的求范围问题典例3已知实数x,y满足条件-1x+y4且2x-y3,则z=2x-3y的取值范围是.答案(3,8)解析设z=2x-3y=a(x+y)+b(x-y)=(a+b)x+(a-b)y,∴a+b=2,a-b=-3,解得a=- ,b= .由-1x+y4,2x-y3,可得-2- (x+y) ,5 (x-y) ,∴3- (x+y)+ (x-y)8,即z=2x-3y∈(3,8).12521212521521252规律总结由af(x,y)b,cg(x,y)d求F(x,y)的取值范围,可利用待定系数法解决,设F(x,y)=mf(x,y)+ng(x,y),用恒等变形求得m,n,再利用不等式的性质求得F(x,y)的取值范围.