解绝对值不等式-涵盖高中所有绝对值不等式解法。

绝对值不等式||||||abab，||||||abab基本的绝对值不等式：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝y=|x-3|+|x+2|≥|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5所以函数的最小值是5，没有最大值＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝|y|=||x-3|-|x+2||≤|(x-3)-(x+2)|=|x-3-x-2|=|-5|=5由|y|≤5得-5≤y≤5即函数的最小值是-5，最大值是5＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝也可以从几何意义上理解，|x-3|+|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之和，显然当-2≤x≤3时，距离之和最小，最小值是5；而|x-3|-|x+2|表示x到3，-2这两点的距离之差，当x≤-2时，取最小值-5，当x≥3时，取最大值5解绝对值不等式题根探讨题根四解不等式2|55|1xx．［题根4］解不等式2|55|1xx．［思路］利用｜f(x)｜a(a0)-af(x)a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551xx即22551(1)551(2)xxxx求解。［解题］原不等式等价于21551xx，即22551(1)551(2)xxxx由（1）得：14x；由（2）得：2x或3x，所以，原不等式的解集为{|12xx或34}x．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551yxxy与的的图象，解方程2551xx，再对照图形写出此不等式的解集。第1变右边的常数变代数式［变题1］解下列不等式：(1)|x+1|2－x；(2)|2x－2x－6|3x［思路］利用｜f(x)｜g(x)-g(x)f(x)g(x)和｜f(x)｜g(x)f(x)g(x)或f(x)-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。解：(1)原不等式等价于x+12－x或x+1－(2－x)解得x12或无解，所以原不等式的解集是{x|x12}(2)原不等式等价于－3x2x－2x－63x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560xxxxxxxxxxxxxxxxx或2x6所以原不等式的解集是{x|2x6}［收获］形如|()fx|()gx，|()fx|()gx型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①|()fx|()gx－()gx()fx()gx②|()fx|()gx()fx()gx或()fx－()gx［请你试试4—1］1．解不等式（1）｜x-x2-2｜x2-3x-4；（2）234xx≤1解：（1）分析一可按解不等式的方法来解.原不等式等价于：x-x2-2x2-3x-4①或x-x2-2-(x2-3x-4)②解①得：1-x1+解②得：x-3故原不等式解集为｛x｜x-3｝分析二∵｜x-x2-2｜＝｜x2-x+2｜而x2-x+2＝(x-14)2+740所以｜x-x2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x2-x+2x2-3x-4解得：x-3∴原不等式解集为｛x-3｝（2）分析不等式可转化为-1≤234xx≤1求解，但过程较繁，由于不等式234xx≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx≤19x2≤(x2-4)2(x≠±2)x4-17x2+16≥0x2≤1或x2≥16-1≤x≤1或x≥4或x≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变含两个绝对值的不等式22［变题2］解不等式（1）|x－1||x+a|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜f2(x)〈g2(x)两边平方去掉绝对值符号。（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。［解题］（1）由于|x－1|≥0，|x+a|≥0，所以两边平方后有：|x－1|2|x+a|2即有2x－2x+12x+2ax+2a，整理得(2a+2)x1－2a当2a+20即a－1时，不等式的解为x12(1－a)；当2a+2=0即a=－1时，不等式无解；当2a+20即a－1时，不等式的解为x1(1)2a（2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜5.解：当x≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)5-2x6x-3.当-3x2时，原不等式为(2-x)+(x+3)555无解.当x≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)52x4x2.综合得：原不等式解集为｛x｜x2或x-3｝.［收获］1）形如|()fx||()gx|型不等式此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()fx||()gx|22()()fxgx[()()][()()]fxgxfxgx02）所谓零点分段法，是指：若数1x，2x，……，nx分别使含有|x－1x|，|x－2x|，……，|x－nx|的代数式中相应绝对值为零，称1x，2x，……，nx为相应绝对值的零点，零点1x，2x，……，nx将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它可以把求解条理化、思路直观化［请你试试4—2］1解关于x的不等式|log(1)||log(1)|aaxx(a0且a≠1)解析：易知－1x1，换成常用对数得：lg(1)lg(1)||||lglgxxaa∴22|lg(1)||lg(1)|xx于是22lg(1)lg(1)0xx∴[lg(1)lg(1)][lg(1)lg(1)]0xxxx∴21lg(1)lg01xxx∵－1x1∴01－2x1∴lg(1－2x)0∴1lg1xx0∴1011xx解得0x12．不等式|x+3|-|2x-1|2x+1的解集为。解：|x+3|-|2x-1|=)3(4)213(24)21(4xxxxxx∴当21x时124xx∴x2当-3x21时4x+22x+1∴723x当3x时124xx∴3x综上72x或x2故填),2()72,(。3．求不等式1331loglog13xx的解集.解：因为对数必须有意义，即解不等式组0103xx，解得03x又原不等式可化为33loglog31xx(1)当01x时，不等式化为33loglog31xx即33log3log3xx∴33xx∴34x综合前提得：304x。(2)当1x≤2时，即333loglog3log3xx.∴2330xxx。(1)当23x时，333loglog3log3xx(2)∴33xx∴94x，结合前提得：934x。综合得原不等式的解集为390,,344第3变解含参绝对值不等式［变题3］解关于x的不等式34422mmmxx［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。若化简成3|2|mmx，则解题过程更简单。在解题过程中需根据绝对值定义对3m的正负进行讨论。［解题］原不等式等价于3|2|mmx当03m即3m时，)3(232mmxmmx或∴333mxmx或当03m即3m时，0|6|x∴x6当03m即3m时，xR［收获］1）一题有多解，方法的选择更重要。2）形如|()fx|a，|()fx|a(aR)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：①当a0时，|()fx|a－a()fxa；|()fx|a()fxa或()fx－a；②当a=0时，|()fx|a无解，|()fx|a()fx≠0③当a0时，|()fx|a无解，|()fx|a()fx有意义。［请你试试4—3］1．解关于x的不等式：0922aaaxx分析：本例主要复习含绝对值不等式的解法，分类讨论的思想。本题的关键不是对参数a进行讨论，而是去绝对值时必须对末知数进行讨论，得到两个不等式组，最后对两个不等式组的解集求并集，得出原不等式的解集。解：当029929222aaxxaxaaxxaxax即时，不等式可转化为abxa17302992)(222aaxxaxaxaaxaxax即时不等式可化为当aaaaxaax6173,323,(323故不等式的解集为或。2．关于x的不等式|kx－1|≤5的解集为{x|－3≤x≤2}，求k的值。按绝对值定义直接去掉绝对值符号后，由于k值的不确定，要以k的不同取值分类处理。解：原不等式可化为－4≤kx≤6当k0时，进一步化为46xkk，依题意有4433632kkkk，此时无解。当k=0时，显然不满足题意。当k0时，64xkk，依题意有42263kkk综上，k=－2。第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题［变题4］若不等式|x－4|+|3－x|a的解集为空集，求a的取值范围。［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a+b|≤|a|+|b|，便把问题简化。［解题］解法一(1)当a≤0时，不等式的解集是空集。(2)当a0时，先求不等式|x－4|+|3－x|a有解时a的取值范围。令x－4=0得x=4，令3－x=0得x=3①当x≥4时，原不等式化为x－4+x－3a，即2x－7a解不等式组474272xaxxa，∴a1②当3x4时，原不等式化为4－x+x－3a得a1③当x≤3时，原不等式化为4－x+3－xa即7－2xa解不等式377337222xaaxxa，∴a1综合①②③可知，当a1时，原不等式有解，从而当0a≤1时，原不等式解集为空集。由(1)(2)知所求a取值范围是a≤1解法二由|x－4|+|3－x|的最小值为1得当a1时，|x－4|+|3－x|a有解从而当a≤1时，原不等式解集为空集。解法三：∵a|x－4|+|3－x|≥|x－4+3－x|=1∴当a1时，|x－4|+|3－x|a有解从而当a≤1时，原不等式解集为空集。［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。2）fxa有解minafx；fxa解集为空集minafx；这两者互补。fxa恒成立maxafx。fxa有解minafx；fxa解集为空集minaf