高中数学-2二项式定理(带答案)

二项式定理一．二项式定理1.右边的多项式叫做nab的二项展开式2.各项的系数rnC叫做二项式系数3.式中的rnrrnCab叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r项，即1(0,1,2,,).rnrrrnTCabrn4.二项展开式特点：共1r项；按字母a的降幂排列，次数从n到0递减；二项式系数rnC中r从0到n递增，与b的次数相同；每项的次数都是.n二．二项式系数的性质性质1nab的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即mnmnnCC性质2二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11mmmnnnCCC性质3nab的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n，即012.nnnnnCCC（令1ab即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）性质4nab的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即022132112.rrnnnnnnnCCCCCC（令1,1ab即得）性质5nab的二项展开式中，当n为偶数时，中间一项的二项式系数2nnC取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数12,nnC12nnC相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、展开式中的特殊项1．21()nxx的展开式中，常数项为15，则n=A．3B．4C．5D．62.在1nxnN的二项展开式中，若只有5x的系数最大，则nA．8B.9C.10D.113．如果2323nxx的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）Ａ．3Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．10题型二、展开式的系数和1.已知100210001210012111.xaaxaxax求：（1）0a；（2）012100aaaa（3）13599aaaa；2.（江西理4）已知33nxx展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）Ａ．4Ｂ．5Ｃ．6Ｄ．73.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)xxaaxaxax，则01211aaaa的值为（）Ａ．2Ｂ．1Ｃ．1Ｄ．24.(安徽文12)已知45235012345(1)xaaxaxaxaxax,())(531420aaaaaa的值等于.题型三、一项展开:拆成两项1.233除以9的余数是（A．1B．2C．4D．8题型四、多项展开：1.（|x|＋||1x－2）3展开式中的常数项是（A．12B．－12C．20D．－202.求2111nxxx展开式中3x项的系数.二项式定理1、展开式中的特殊项1．解．21()nxx的展开式中，常数项为15，则223331()()15nnnnCxx，所以n可以被3整除，当n=3时，13315C，当n=6时，2615C，选D。2.答案】C解析】只有5x的系数最大，5x是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=103．答案：选Ｂ解析：由展开式通项有21323rnrrrnTCxx2532rrnrnrnCx由题意得52500,1,2,,12nrnrrn，故当2r时，正整数n的最小值为5，故选Ｂ2、展开式的系数和1.1003、1005、2151002.解析：展开式中，各项系数的和为4n，各项二项式系数的和为2n，由已知得2n=64，所以n=6，选C3.解析：令2x=1，右边为01211aaaa；左边把1x代入299(1)(21)2(1)2xx，012112.aaaa选A.4.解析：已知45235012345(1)xaaxaxaxaxax,∴024135()16aaaaaa则())(531420aaaaaa=－2563、一项展开:拆成两项1解析：1111101192111011111011111133C9C9C9C9C)19(82100119(C9)1C9C9C9(C91)C9C9C10118211911110011101182119111,8故余数为8，选D．4、多项展开：1.解法一：∵63)||1||()2||1|(|xxxx∴展开式的通项为rrrxT661)||(C·rrrx)1(C)||1(6·rx26)||(令6－2r＝0，得r＝3∴T4＝36C（－1）3＝－20∴所求常数项为－20解法二：∵（|x|＋||1x－2）3＝36|||)|1(xx∴（1－|x|）6中|x|3的系数A＝36C（－1）3＝－20评注：此题也可把其中的某两项看作一项对待，然后用二项式定理展开，但较繁，以上两种转化方式2.33433nCCC