高考数学复习第二轮---重点难点专项突破38--分类讨论思想

刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破难点38分类讨论思想分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”1.（★★★★★）若函数514121)1(31)(23xaxxaxf在其定义域内有极值点，则a的取值为.2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x–a｜+1，x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值.［例1］已知{an}是首项为2，公比为21的等比数列，Sn为它的前n项和.（1）用Sn表示Sn+1;（2）是否存在自然数c和k，使得21cScSkk成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出kkScS223.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn=4(1–n21），得221)211(411nnnSS，(n∈N*)（2）要使21cScSkk，只要0)223(kkScSc因为4)211(4kkS所以0212)223(kkkSSS，(k∈N*)故只要23Sk–2＜c＜Sk，（k∈N*）刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破因为Sk+1＞Sk，(k∈N*)①所以23Sk–2≥23S1–2=1.又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立.当k≥2时，因为cS252232，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得23Sk–2＜23Sk+1–2故当k≥2时，23Sk–2＞c，从而①不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c＜Sk因为cS4132233，又23Sk–2＜23Sk+1–2所以当k≥3时，23Sk–2＞c，从而①成立.综上所述，不存在自然数c,k,使21cScSkk成立.［例2］给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l：x=–1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点.错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B（–1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=–bx.设点C(x,y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y｜=21||bbxy①依题设，点C在直线AB上，故有)(1axaby由x–a≠0，得axyab)1(②将②式代入①式，得y2［(1–a)x2–2ax+(1+a)y2］=0若y≠0，则(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破若y=0则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C的轨迹方程为（1–a）x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x＜1)③此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a≠1，轨迹方程化为)0(11)1()1(22222axaayaaaax④所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段；当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足.（i）当｜BD｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0由CE∥BD，得)1(||||||||||axayEADACEBD.∵∠COA=∠COB=∠COD–∠BOD=π–∠COA–∠BOD∴2∠COA=π–∠BOD∴COACOACOA2tan1tan2)2tan(BODBODtan)tan(∵xyCOA||tan)1(||||||tanaxayODBDBOD∴)1(||1||22axayxyxy整理，得(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)(ii)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0,0)，满足上式.综合(i)、(ii)，得点C的轨迹方程为(1–a)x2–2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(–1,b)，则BO的方程为y=–bx，直线AB的方程为)(1axaby刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破∵当b≠0时，OC平分∠AOB，设∠AOC=θ,∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是2212tan1tan22tankk又tan2θ=–b∴–b=212kk①∵C点在AB上∴)(1axabkx②由①、②消去b，得)(12)1(2axkkkxa③又xyk，代入③，有)(12)1(22axxyxyxxya整理，得(a–1)x2–(1+a)y2+2ax=0④当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式：a≠1时，④式变为11)1()1(22222aayaaaax当0＜a＜1时，④表示椭圆弧段；当a＞1时，④表示双曲线一支的弧段；当a=1时，④表示抛物线弧段.分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.一、选择题1.（★★★★）已知122limnnnnnaa其中a∈R，则a的取值范围是()A.a＜0B.a＜2或a≠–2刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破C.–2＜a＜2D.a＜–2或a＞22.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有()A.150种B.147种C.144种D.141种二、填空题3.（★★★★）已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为.4.（★★★★★）已知集合A={x｜x2–3x+2=0},B={x｜x2–ax+(a–1)=0}，C={x｜x2–mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为，m的取值范围为.三、解答题5.（★★★★）已知集合A={x｜x2+px+q=0}，B={x｜qx2+px+1=0},A,B同时满足：①A∩B≠,②A∩B={–2}.求p、q的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2,…)时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,…)定义.（1）求x1、x2和xn的表达式；（2）计算nlimxn；（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a＞0时，函数f(x)=ax–bx2（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b;（2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b–1≤a≤2b；（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件.参考答案●难点磁场1.解析：即f(x)=(a–1)x2+ax–41=0有解.当a–1=0时，满足.当a–1≠0时，只需Δ=a2–(a–1)＞0.答案：252252a或a=12.解：(1)当a=0时，函数f(–x)=(–x)2+｜–x｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(–a)=a2+2｜a｜+1.f(–a)≠f(a),f(–a)≠–f(a)此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2–x+a+1=(x–21)2+a+43若a≤21，则函数f(x)在(–∞,a］上单调递减.从而函数f(x)在（–∞,a]上的最小值为f(a)=a2+1刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破若a＞21，则函数f(x)在（–∞,a]上的最小值为f(21)=43+a，且f(21)≤f(a).②当x≥a时，函数f(x)=x2+x–a+1=(x+21)2–a+43若a≤–21，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(–21)=43–a，且f(–21)≤f(a)；若a＞–21，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a≤–21时，函数f(x)的最小值为43–a；当–21＜a≤21时，函数f(x)的最小值是a2+1；当a＞21时，函数f(x)的最小值是a+43.●歼灭难点训练一、1.解析：分a=2、｜a｜＞2和｜a｜＜2三种情况分别验证.答案：C2.解析：任取4个点共C410=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C46=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C二、3.解析：分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案：1或24.解析：A={1,2},B={x｜(x–1)(x–1+a)=0},由A∪B=A可得1–a=1或1–a=2；由A∩C=C，可知C={1}或.答案：2或33或（–22，22）三、5.解：设x0∈A，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，则A={–2,0}，从而p=2,q=0,B={–21}.此时A∩B=与已知矛盾，故x0≠0.将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得01)1()1(020xpxq.即01x满足B中的方程，故01x∈B.∵A∩B={–2},则–2∈A,且–2∈B.刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破设A={–2,x0}，则B={01,21x}，且x0≠2（否则A∩B=）.若x0=–21，则01x–2∈B,与–2B矛盾.又由A∩B≠,∴x0=01x，即x0=±1.即A={–2,1}或A={–2,–1}.故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根–2，1或–2，–1∴2)1()2(3)12(21)2(1)12(qpqp或6.解：如图，设MN切圆C于N，则动点M组成的集合是P={M｜｜MN｜=λ｜MQ｜,λ＞0}.∵ON⊥MN,｜ON｜=1,∴｜MN｜2=｜MO｜2–｜ON｜2=｜MO｜2–1设动点M的坐标为(x,y