高考数学复习第二轮---重点难点专项突破40--探索性问题

刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破难点40探索性问题高考中的探索性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求考生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题.1.（★★★★）已知三个向量a、b、c，其中每两个之间的夹角为120°，若｜a｜=3,｜b｜=2,｜c｜=1，则a用b、c表示为.2.（★★★★★）假设每一架飞机引擎在飞行中故障率为1–p，且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运行，飞机就可成功飞行，则对于多大的p而言，4引擎飞机比2引擎飞机更为安全？［例1］已知函数1)(2axcbxxf(a,c∈R,a＞0,b是自然数）是奇函数，f(x)有最大值21，且f(1)＞52.（1）求函数f(x)的解析式；（2）是否存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由.命题意图：本题考查待定系数法求函数解析式、最值问题、直线方程及综合分析问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：函数的奇偶性、重要不等式求最值、方程与不等式的解法、对称问题.错解分析：不能把a与b间的等量关系与不等关系联立求b；忽视b为自然数而导致求不出b的具体值；P、Q两点的坐标关系列不出解.技巧与方法：充分利用题设条件是解题关键.本题是存在型探索题目，注意在假设存在的条件下推理创新，若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定的结论，并加以论证.解：（1）∵f(x)是奇函数∴f(–x)=–f(x)，即1122axcbxaxcbx∴–bx+c=–bx–c∴c=0∴f(x)=12axbx由a＞0，b是自然数得当x≤0时，f(x)≤0，当x＞0时，f(x)＞0∴f(x)的最大值在x＞0时取得.∴x＞0时，22111)(babxxbaxf当且仅当bxxba1刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破即ax1时，f(x)有最大值21212ba∴2ba=1,∴a=b2①又f(1)＞52，∴1ab＞52,∴5b＞2a+2②把①代入②得2b2–5b+2＜0解得21＜b＜2又b∈N,∴b=1,a=1,∴f(x)=12xx（2）设存在直线l与y=f(x)的图象交于P、Q两点，且P、Q关于点（1，0）对称，P(x0,y0)则Q（2–x0,–y0)，∴020002001)2(21yxxyxx,消去y0，得x02–2x0–1=0解之，得x0=1±2,∴P点坐标为(42,21)或(42,21)进而相应Q点坐标为Q（42,21）或Q(42,21).过P、Q的直线l的方程：x–4y–1=0即为所求.［例2］如图，三条直线a、b、c两两平行，直线a、b间的距离为p，直线b、c间的距离为2p，A、B为直线a上两定点，且｜AB｜=2p，MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段.（1）建立适当的平面直角坐标系，求△AMN的外心C的轨迹E；（2）接上问，当△AMN的外心C在E上什么位置时，d+｜BC｜最小，最小值是多少？（其中d是外心C到直线c的距离）.命题意图：本题考查轨迹方程的求法、抛物线的性质、数形结合思想及分析、探索问题、综合解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求曲线的方程、抛物线及其性质、直线的方程.错解分析：①建立恰当的直角坐标系是解决本题的关键，如何建系是难点，②第二问中确定C点位置需要一番分析.技巧与方法：本题主要运用抛物线的性质，寻求点C所在位置，然后加以论证和计算，得出正确结论，是条件探索型题目.解：（1）以直线b为x轴，以过A点且与b直线垂直的直线为y轴建立直角坐标系.刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破设△AMN的外心为C(x,y)，则有A(0,p)、M（x–p,0)，N(x+p,0)，由题意，有｜CA｜=｜CM｜∴2222)()(ypxxpyx,化简，得x2=2py它是以原点为顶点，y轴为对称轴，开口向上的抛物线.（2）由（1）得，直线C恰为轨迹E的准线.由抛物线的定义知d=｜CF｜，其中F（0,2p）是抛物线的焦点.∴d+｜BC｜=｜CF｜+｜BC｜由两点间直线段最短知，线段BF与轨迹E的交点即为所求的点直线BF的方程为pxy2141联立方程组pyxpxy221412得.16179)171(41pypx.即C点坐标为(pp16179,4171).此时d+｜BC｜的最小值为｜BF｜=p217.如果把一个数学问题看作是由条件、依据、方法和结论四个要素组成的一个系统，那么把这四个要素中有两个是未知的数学问题称之为探索性问题.条件不完备和结论不确定是探索性问题的基本特征.解决探索性问题，对观察、联想、类比、猜测、抽象、概括诸方面有较高要求，高考题中一般对这类问题有如下方法：（1）直接求解；（2）观察——猜测——证明；（3）赋值推断；（4）数形结合；（5）联想类比；（6）特殊——一般——特殊.一、选择题1.（★★★★）已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题，其中正确命题是()①α∥βl⊥m②α⊥βl∥m③l∥mα⊥β④l⊥mα∥βA.①与②B.①与③C.②与④D.③与④2.（★★★★）某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票.现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票()A.7张B.8张C.9张D.10张二、填空题3.(★★★★)观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=43,sin215°+cos245°+sin15°刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破·cos45°=43，写出一个与以上两式规律相同的一个等式.三、解答题4.（★★★★）在四棱锥P—ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，问底面的边BC上是否存在点E.（1）使∠PED=90°；（2）使∠PED为锐角.证明你的结论.5.（★★★★★）已知非零复数z1,z2满足｜z1｜=a,｜z2｜=b,｜z1+z2｜=c（a、b、c均大于零），问是否根据上述条件求出12zz？请说明理由.6.（★★★★★）是否存在都大于2的一对实数a、b(a＞b)使得ab,ab,a–b,a+b可以按照某一次序排成一个等比数列，若存在，求出a、b的值，若不存在，说明理由.7.（★★★★★）直线l过抛物线y2=2px(p＞0）的焦点且与抛物线有两个交点，对于抛物线上另外两点A、B直线l能否平分线段AB？试证明你的结论.8.（★★★★★）三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为0.7、0.8、0.9，将它们的某两个并联再和第三个串联接入电路，如图甲、乙、丙所示，问哪一种接法使电路不发生故障的概率最大？参考答案●难点磁场1.解析：如图–a与b，c的夹角为60°,且|a|=|–a|=3.由平行四边形关系可得–a=3c+23b,∴a=–3c–23b.答案：a=–3c–23b2.解析：飞机成功飞行的概率分别为：4引擎飞机为：4222443342224)1(4)1(6C)1(C)1(CPPPPPPPPPP2引擎飞机为222212)1(2C)1(CPPPPPP.要使4引擎飞机比2引擎飞机安全，则有：6P2（1–P）2+4P2（1–P）+P4≥2P(1–P)+P2,解得P≥32.即当引擎不出故障的概率不小于32时，4引擎飞机比2引擎飞机安全.刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破●歼灭难点训练一、1.解析：①l⊥α且α∥βl⊥β,mβl⊥m.②α⊥β且l⊥αl∥β,但不能推出l∥m.③l∥m,l⊥αm⊥α,由mβα⊥β.④l⊥m,不能推出α∥β.答案：B2.解析：选1.1元5张，0.6元2张，0.8元1张.故8张.答案：B二、3.解析：由50°–20°=(45°–15°)=30°可得sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=43.答案：sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=43三、4.解：(1)当AB≤21AD时，边BC上存在点E，使∠PED=90°;当AB21AD时，使∠PED=90°的点E不存在.（只须以AD为直径作圆看该圆是否与BC边有无交点）（证略）（2）边BC上总存在一点，使∠PED为锐角，点B就是其中一点.连接BD，作AF⊥BD，垂足为F，连PF，∵PA⊥面ABCD，∴PF⊥BD，又△ABD为直角三角形，∴F点在BD上，∴∠PBF是锐角.同理，点C也是其中一点.5.解：∵|z1+z2|2=(z1+z2)(1z+2z)=|z1|2+|z2|2+(z12z+1zz2)∴c2=a2+b2+(z12z+1zz2)即：z12z+1zz2=c2–a2–b2∵z1≠0,z2≠0，∴z12z+1z·z2=12112221zzzzzzzz=|z2|2(21zz)+|z1|2(12zz)即有：b2(21zz)+a2(12zz)=z1z2+z1z2∴b2(21zz)+a2(12zz)=c2–a2–b2∴a2(12zz)2+(a2+b2–c2)(12zz)+b2=0这是关于12zz的一元二次方程，解此方程即得12zz的值.6.解：∵ab,a2,b2,∴ab,ab,a–b,a+b均为正数，且有aba+bab,aba+ba–b.刘老师精品资料之高考数学第二轮---难点突破假设存在一对实数a,b使ab,ab,a+b,a–b按某一次序排成一个等比数列，则此数列必是单调数列.不妨设该数列为单调减数列，则存在的等比数列只能有两种情形，即①ab,a+b,a–b,ab,或②ab,a+b,ab,a–b由（a+b）2≠ab·ab所以②不可能是等比数列，若①为等比数列，则有：22710257))(()()(2baababbababaabba解得经检验知这是使ab,a+b,a–b,ab成等比数列的惟一的一组值.因此当a=7+25,b=22710时，ab,a+b,a–b,ab成等比数列.7.解：如果直线l垂直平分线段AB，连AF、BF，∵F（2p，0）∈l.∴|FA|=|FB|,设A（x1,y1）,B(x2,y2),显然x10,x20,y1≠y2,于是有（x1–2p）2+y12=(x2–2p)2+y22,整理得：（x1+x2–p)(x1–x2)=y22–y12=–2p(x1–x2).显然x1≠x2(否则AB⊥x轴，l与x轴重合，与题设矛盾）得：x1+x2–p=–2p即x1+x2=–p0,这与x1+x20矛盾，故直线l不能垂直平分线段AB.8.解：设元件T1、T2、T3能正常工作的事件为A1、A2、A3，电路不发生故障的事件为A，则P（A1）=0.7，P（A2）=0.8，P（A3）=0.9.（1）按图甲的接法求P（A）：A=（A1+A2）·A3，由A1+A2与A3相互独立，则P（A）=P（A1+A2）·P（A3）又P（A1+A2）=1–P（21AA）=1–P（1A·2A）由A1与A2相互独立知1A与2A相互独立，得：P（1A·2A）=P（1A）·P（2A）=［1–P（A1）］·［1–P（A2）］=（1–0.7）×(1–0.8)=0.06，∴P(A1+A2)=0.1–P(1A·2A)=1–0.06=0.94，∴P(A)=0.94×0.9=0.846.(2)按图乙的接法求P（A）：A=（A1+A3）·A2且A1+A3与A2相互独立，则P（A）=P（A1+A3）·P（A2），用另一种算法求P（A1+A3）.∵A1与A3彼此不互斥，根据容斥原理P（A1+A3）=P（A1）+P（A3）–P（A1A3），∵A1与A3相互独立，则P（A1·A3）=P（A1）·P（A3）=0.7×0.9=0.63,P(A1+A3)=0.7+0.9–0.63=0.97.∴P(A)=P(