第四章杆件横截面上的剪应力(材料力学课件)

第四章杆件横截面上的剪应力§4-1圆轴扭转时横截面上的剪应力受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的力偶，力偶作用面垂直于轴线。变形特征：横截面绕轴线转动。CL5TU2外力偶矩的计算:设某轮所传递的功率是NkW，轴的转速是nrpmCL5TU18NkW的功率相当于每分钟作功：WN=1000601)××(外力偶矩所作的功：mWmn=22)((1)=(2)100060=2得××NmnmNnNnm9549───kWrpmNmmNnNnm7024───PSrpmNm{}{}{}mNnNmkWr/min9549{}{}{}mNnNmPSr/min7024GB3101-93中规定的数值方程式表示方法例：图示传动轴，主动轮A输入功率NA=50马力，从动轮B、C、D输出功率分别为NB=NC=15马力，ND=20马力，轴的转速为n=300转/分。作轴的扭矩图。CL5TU3扭矩和扭矩图:NNNNnABCD501520PSPSPS=300rpm解：mNnAA70247024503001170NmmmNnmNnBCBDC70247024153003517024702420300468NmNmTmB1351NmT2702NmTmD3468NmmmmmABCD1170351468NmNmNmT(Nm)TTT123351702468NmNmNm薄壁圆筒的扭转实验:CL5TU4mm剪应力在截面上均匀分布，方向垂直于半径TT根据精确的理论分析,当t≤r/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。rATAddAdArATAdrrtT2Trt22r剪应力互等定理:在相互垂直的两个平面上,剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同时指向或背离两平面的交线。剪切胡克定律:CL5TU8薄壁圆筒的实验,证实了剪应力与剪应变之间存在着象拉压胡克定律类似的关系,即当剪应力不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应变成正比G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切胡克定律G剪切弹性模量G材料常数：拉压弹性模量E泊松比μGE21()对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ三个弹性常数之间存在着如下关系:圆轴扭转时的应力和变形:一、圆轴扭转时横截面上的应力变形几何关系从三方面考虑：物理关系静力学关系CL5TU5观察到下列现象:(1)各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化(2)纵向线仍近似为直线,但都倾斜了同一角度γ1.变形几何关系平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面，它像刚性平面一样绕轴线旋转了一个角度。CL5TU5dCL5TU5ddxddx在外表面上rxdd根据剪切胡克定律,当剪应力不超过材料的剪切比例极限时G剪应力方向垂直于半径2.物理关系Gxdd3.静力学关系dAdAoAATdAGxATdddGxATAddd2令IApA2d则ddxTGIpIApA2d极惯性矩ddxTGIpGxddmaxmaxTIpGTGIpTIpTWtWItpmax抗扭截面模量TITWptmaxmaxmaxCL5TU9极惯性矩：实心圆：Idp432空心圆：IDdDp()()444432321抗扭截面模量：实心圆：Wdt316空心圆：WDt34161()二、圆轴扭转时的变形CL5TU5dddxTGIpddTGIxpTGIxpld若，则TTlGIpconstlNlEA圆轴扭转时的强度条件和刚度条件强度条件：max[]TWt刚度条件：ddxTGIp[]TGIp180[]radm//m例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的倍？圆轴的扭转角是原来的倍？maxTWTdt316TlGITlGdp432816例：图示铸铁圆轴受扭时，在＿＿＿＿面上发生断裂，其破坏是由应力引起的。在图上画出破坏的截面。CL5TU1045螺旋最大拉例：一直径为D1的实心轴，另一内外径之比α＝d2／D2＝0.8的空心轴，若两轴横截面上的扭矩相同，且最大剪应力相等。求两轴外直径之比D2/D1。解：由TDTD132341616108(.)DD214311081192..得：例：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少?解：设实心轴的直径为d1，由TdTD13341616105(.)Dd11022.得：AADd空实2212410540783(.).0.80.81.1920.80.512例：一厚度为30mm、内直径为230mm的空心圆管，承受扭矩T=180kN·m。试求管中的最大剪应力，使用：(1)薄壁管的近似理论；(2)精确的扭转理论。解：(1)利用薄壁管的近似理论可求得maxTrt22max()TD34161(2)利用精确的扭转理论可求得18010029161230290334.622.MPa18010201300332..565.MPa例：一空心圆轴，内外径之比为α=0.5，两端受扭转力偶矩作用，最大许可扭矩为Ｔ，若将轴的横截面面积增加一倍，内外径之比仍保持不变，则其最大许可扭矩为Ｔ的多少倍？（按强度计算）。解：设空心圆轴的内、外径原分别为d、D，面积增大一倍后内外径分别变为d1、D1，最大许可扭矩为Ｔ1由TDTD113434161161()()[]由得DDDD1222214105241052(.)(.)得TTDD1133/222828.例：一空心轴α=d/D=0.8，转速n=250r/m,功率N=60kW，［τ］=40MPa，求轴的外直径D和内直径d。解：mNn9549954960250229176.Nm由mDD34346161229176161084010().(.)得D791.mm,.d633mm例：水平面上的直角拐，AB段为圆轴，直径为d，在端点C受铅垂力P作用，材料的剪切弹性模量为G，不计BC段变形。求C点的铅垂位移。CL5TU12解：CVABaPalGIap3224PalGd例：已知一直径d=50mm的钢制圆轴在扭转角为6°时，轴内最大剪应力等于90MPa，G=80GPa。求该轴长度。解：TlGIp()1max()TWt2()()12得：lGIWptmax618080100059010296.233.m例：圆截面橡胶棒的直径d=40mm,受扭后,原来表面上的圆周线和纵向线间夹角由90°变为88°。如杆长l=300mm，试求两端截面间的扭转角；如果材料的剪变模量G=2.7MPa，试求杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩ｍ。CL5TU13解：由ld2得ld2230024030maxG272180.009425.MPamWtmax009425100041663..118.Nm例：传动轴传递外力偶矩ｍ＝5kN·m,材料的[τ]=30MPa,G=80GPa,[θ]=0.5°/m,试选择轴的直径ｄ。解：由500016301036d得d947.mm由50008010321800594d.得d924.mm例：一圆钢管套在一实心圆钢轴上，长度均为ｌ，钢管与钢轴材料相同，先在实心圆轴两端加外力偶矩ｍ，使轴受扭后，在两端把管与轴焊起来，去掉外力偶矩。求此外管与内轴的最大剪应力。CL5TU14解：外管与内轴承受的扭矩相等，设为TmmlGIp内TlGITlGIpp内外例：两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C受外力偶矩m作用，试求杆两端的支座反力偶矩。CL5TU15解：mmmAB静力平衡方程为：ABACCB0变形协调条件为：maGImbGIApBp0即：圆截面杆扭转时的应力和变形公式,均建立在平面假设的基础上。对于非圆截面杆,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面。这一现象称为截面翘曲。因此,圆轴扭转时的应力、变形公式对非圆截面杆均不适用。§4-2非圆截面杆扭转剪应力CL5TU20非圆截面杆在扭转时有两种情形:CL5TU211.自由扭转或纯扭转在扭转过程中,杆的各横截面的翘曲不受任何约束,任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同。此时横截面只有剪应力,而没有正应力。2.约束扭转扭转时,由于杆的端部支座的约束,使杆件截面翘曲受到一定限制,而引起任意两相邻横截面的翘曲程度不同,将在横截面上产生附加的正应力。CL5TU21对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略，但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是一、矩形截面杆的扭转在横截面的边缘上各点的剪应力均与周边平行,且截面的四个角点上剪应力均为零。最大剪应力发生在长边中点处.CL5TU22max1表5-1矩形截面杆扭转时的系数h/b1.01.21.52.02.53.04.06.08.010.0∞α0.2080.2190.2310.2460.2580.2670.2820.2990.3070.3130.333β0.1410.1660.1960.2290.2490.2630.2810.2990.3070.3130.333γ1.0000.9300.8580.7960.7670.7530.7450.7430.7430.7430.743maxmaxThbTGhb213