高等数学简明教程

高等数学简明教程第一章函数、极限与连续第一节函数第二节极限第三节极限的运算第四节函数的连续性第一节函数一、函数的概念设x，y是两个变量,D是给定的非空数集,如果变量x在D内任取一个确定的数值时,变量y按照一定的法则f都有唯一确定的数值与之对应,则称变量y是变量x的函数,记为xfy,Dx，其中变量x称为自变量,变量y称为因变量(或函数),数集D称为函数的定义域,f称为函数的对应法则.确定函数的两个要素：定义域和对应法则.第一节函数一、函数的概念例函数1xy与函数112xxy是否表示同一函数？解否.它们表示两个不同的函数.前者的定义域为,，后者的定义域为,11,.因为定义域不同，所以函数不同.例求函数112xy的定义域.解由012x，得1x，所以函数112xy的定义域为,11,11,.第一节函数一、函数的概念函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量的取值范围.一般考虑以下几个方面：（1）分式函数的分母不能为零；（2）偶次根式的被开方式必须大于等于零；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）三角函数与反三角函数要符合其定义；（5）如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集.第一节函数二、函数的性质1.有界性如果存在正数M,使对任意的Ix,恒有Mxf,则称函数xfy在区间I上有界,否则称xf在区间I上无界.例如，xysin在,上有界,因为1sinx对任何,x都成立；而函数xy1在1,1上无界，因为不存在正数M，使得Mx1对于1,0上的一切x都成立.第一节函数二、函数的性质2.单调性若对任意的Ixx21,,当21xx时,恒有21xfxf(或21xfxf),则称函数xfy在区间I上单调增加(或单调减少).区间I称为单调增区间(或单调减区间);单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数;单调增区间和单调减区间统称为单调区间.例如，2xy在),0[内单调增加，在]0,(内单调减少.又如，3xy在,内单调增加.第一节函数二、函数的性质3.奇偶性设函数xf的定义区间I上关于原点对称,若对任意的Ix,都有xfxf,则称函数xf是区间I上的偶函数;若对任意的Ix,都有xfxf,则称函数xf是区间I上的奇函数;若函数既不是奇函数也不是偶函数,则称为非奇非偶函数.例如，2xy与xycos在,上是偶函数，3xy与xysin在,上是奇函数，xxycos1在,上是非奇非偶函数.第一节函数二、函数的性质4.周期性如果存在不为零的实数T,使得对于任意的Ix,ITx,都有xfTxf,则称函数xfy是周期函数,T是xfy的一个周期.通常所说的周期函数的周期是指它的最小正周期.例如,xycos是以π2为周期的周期函数;xytan是以π为周期的周期函数.第一节函数三、反函数设函数xfy的定义域为D,值域为M.如果对于M中的每个数y,在D中都有唯一确定的数x与之对应,且使xfy成立,则确定了一个以y为自变量,x为因变量的函数,称为函数xfy的反函数,记为yfx1,其定义域为M,值域为D.第一节函数三、反函数例求函数31xy的反函数.解由31xy解得13yx.当y在,内任取一值时，有唯一确定的x值与之对应，所以它是一个函数.将yx,分别换为xy,，得13xy，即函数31xy的反函数为13xy.第一节函数Cy(C为常数）xy(为实数)xay(0a,且1a,a为常数)四、基本初等函数(2)幂函数(1)常数函数(3)指数函数(4)对数函数xyalog(0a,且1a,a为常数)第一节函数1,1,,,sinyxxy1,1,,,cosyxxy(5)三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数,,2ππ,tan,ykkxxyZ,,π,cot,ykkxxyZ第一节函数2π,2π,1,1,arcsinyxxyπ,0,1,1,arccosyxxy(6)反三角函数反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数2π,2π,,,arctanyxxyπ,0,,,cotarcyxxy第一节函数五、复合函数设ufy,其中xu,且函数xu的值域包含在函数ufy的定义域内,则称xfy为由ufy与xu复合而成的复合函数,其中u称为中间变量.例如，xuuysin,2可复合成xy2sin.注：并不是任意两个函数都能构成复合函数.第一节函数五、复合函数利用复合函数不仅能将若干个简单的函数复合成一个函数，还可以把一个较复杂的函数分解成几个简单的函数，这对于今后掌握微积分的运算是很重要的.例将下列复合函数进行分解.(1)xycosln;(2)3sinxy.解(1)xycosln是由uyln,xucos复合而成的.(2)3sinxy是由3uy,xusin复合而成的.第一节函数六、初等函数与分段函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成并用一个式子表示的函数，称为初等函数.在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子表示的函数，称为分段函数.注:(1)分段函数仍旧是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段函数定义域的并集.(2)分段函数一般不是初等函数.第二节极限一、数列的极限对于数列}{nx,若当n无限增大时,通项nx无限接近于某个确定的常数A,则常数A称为数列}{nx的极限,此时也称数列}{nx收敛于A,记为Axnnlim或nAxn.若数列}{nx的极限不存在,则称数列}{nx发散.第二节极限二、函数的极限1.x时函数的极限函数xfy在,内有定义,若当x无限增大时,相应的函数值xf无限接近于某一确定的常数A,则A称为函数xf当x时的极限,记为Axfx)(lim或)()(xAxf，其中x表示x的绝对值无限增大.第二节极限二、函数的极限2.0xx时函数的极限设R,0x且0,则开区间00,xx称为点0x的邻域,记为,0xU，即000000,}{,xxxxxxxxxxU.点0x称为这邻域的中心，称为这邻域的半径.第二节极限二、函数的极限2.0xx时函数的极限设函数)(xf在0x的某一去心邻域内有定义，当自变量x无限趋近于0x时，函数)(xf的值无限趋近于某一确定的常数A，则称A为0xx时函数)(xf的极限，记为Axfxx0lim或0xxAxf，其中0xx表示x既可以从大于0x的方向趋近于0x，也可以从小于0x的方向趋近于0x.第二节极限二、函数的极限2.0xx时函数的极限设函数)(xf在0x的某左（或右）邻域内有定义，当自变量x从0x的左（或右）侧无限趋近于0x时，函数)(xf的值无限趋近于某一确定的常数A，则称A为0xx时函数)(xf的左（或右）极限，记为Axfxx0lim（或Axfxx0lim）.定理极限Axfxx0lim的充分必要条件是Axfxfxxxx00limlim＝.第二节极限三、极限的性质性质1(唯一性)若xfxx0lim存在,则极限值唯一.性质2(有界性)若xfxx0lim存在,则在0x的某一去心邻域内函数xf有界.性质3(保号性)若Axfxx＝0lim,且0A(或0A),则必存在0x的某一去心邻域,使得在该邻域内,函数0xf(或0xf).推论若Axfxx＝0lim，且在0x的某一去心邻域内函数0xf(或0xf),则0A(或0A).第二节极限在自变量的某一变化过程中，以零为极限的变量称为该变化过程的无穷小量，简称无穷小.四、无穷小与无穷大无穷小的性质：性质1有限个无穷小的和也是无穷小.性质2有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小.第二节极限在自变量的某一变化过程中，绝对值无限增大的变量称为该变化过程的无穷大量，简称无穷大.四、无穷小与无穷大定理（无穷小与无穷大的关系）在自变量的同一变化过程中,(1)如果函数xf是无穷小,且0xf,则xf1是无穷大;(2)如果函数xf是无穷大,则xf1是无穷小.第三节极限的运算一、函数极限的运算法则设在自变量x的同一变化过程中,极限)(limxf及)(limxg都存在,则有(1))(lim)(lim)()(limxgxfxgxf;(2))(lim)(lim)()(limxgxfxgxf;(3))0)((lim)(lim)(lim)()(limxgxgxfxgxf.推论1)(lim)](lim[xfCxCf(C为常数).推论2nnxfxf)]([lim)](lim[(n为正整数).第三节极限的运算一、函数极限的运算法则例求下列极限.(1)823lim21xxx;(2))3)(12(lim1xxx;(3)4883lim22xxxx.解（1）8limlim2lim38lim2lim3lim823lim1121112121xxxxxxxxxxxxx3812138limlim2)lim(321121xxxxx.（2）.623)3(lim)12(lim)3)(12(lim111xxxxxxx（3）因为020)48(lim2xx,所以103)48(lim)83(lim4883lim22222xxxxxxxxx.第三节极限的运算1.1sinlim0xxx该极限的基本特征是：分子分母的极限值均为零，且分母中的变量与分子正弦函数中的变量相同.因此，该极限的一般形式为1sinlim0□□□(□代表同一变量).例求xxxtanlim0.解1cos1limsinlimcos1sinlimtanlim0000xxxxxxxxxxxx＝.二、两个重要极限第三节极限的运算2.e11limxxx该极限的基本特征是：底数的极限值为1，指数的极限是无穷大，且指数与底数中第二项互为倒数.因此，该极限的一般形式为e11lim□□□，e1lim10□□□(□代表同一变量).例求xxx1021lim.解.e21lim21lim21lim22210221010xxxxxxxxx二、两个重要极限第三节极限的运算设与是自变量的同一变化过程中的两个无穷小,(1)如果0lim,则称是比高阶的无穷小,记为o＝;(2)如果lim,则称是比低阶的无穷小;(3)如果clim(0c),则称与是同阶无穷小.特别地，当1c时，称与是等价无穷小,记为为~.三、无穷小的比较第三节极限的运算定理在自变量的同一变化过程中，,,和都是无穷小，且~,~，如果lim存在，那么.limlim三、无穷小的比较注：相乘（除）的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但相加（减）的无穷小的项不能作等价代换.第三节极限的运算例求下列极限.（1）xxx4sinarctanlim0；（2）)31ln(tanl