第一、二节差分方程的基本概念-一阶常系数线性差分方程

第十章差分方程初步第十章差分方程初步第一节差分方程的基本概念第二节一阶常系数线性差分方程第三节二阶常系数线性差分方程第四节n阶常系数线性差分方程第五节差分方程在经济学中的应用第一节差分方程的基本概念一.差分概念给定函数()tyft),3,2,1,0(t一阶差分ty)()1(tftfttyy1二阶差分ty2)()1(2)2(tftftfttyy1)]1()2([tftf)(ty)]()1([tftf例1求函数ttyt22的.,2ttyy解ty)2()]1(2)1[(22tttt32tty2)]1(2)1[(2)]2(2)2[(22tttt.2)2(2tt)()1(tftf)()1(2)2(tftftf二.差分方程定义10.1含有自变量,t未知函数ty以及未知函数ty的差分tnttyyy,,,2的方程,称为差分方程.出现在差分方程中的最高阶差分的阶数,称为差分方程的阶.0),,,,,,(32tnttttyyyyytF定义10.2含有自变量t和两个或两个以上ntttyyy,,,1的函数值的方程,称为差分方程.出现在差分方程中的未知函数下标的最大差,称为差分方程的阶.0),,,,,(21nttttyyyytF注两个定义不完全等价例如02ttyy二阶差分方程21(2)0tttyyy012ttyy一阶差分方程一般用第二定义1()ttyy三.差分方程的解定义10.3如果将已知函数)(tyt代入方程0),,,,,(21nttttyyyytF使其对,2,1,0t成为恒等式,则称)(tyt为差分方程的解.含有n个独立任意常数的解,称为通解.在通解中给任意常数以确定的值而得到的解,称为差分方程的特解.确定任意常数的条件,称为初始条件..,,,111100nnayayay求部分一阶差分方程的通解.本章中心任务四.线性差分方程)()()()(1111tfytaytaytaytntnntnt如果0)(tfn阶线性齐次差分方程如果0)(tfn阶线性非齐次差分方程)(1tfayytt重点讨论一般形式认方程:tyytt383123551012tyyyttt05432123ttttttttyyyy一阶线性常系数非齐次差分方程二阶线性常系数非齐次差分方程三阶线性齐次差分方程定理10.1五.线性差分方程解的基本定理如果)(,),(),(21tytytym是齐次线性差分方程的个解,则它们的线性组合m)()()()(2211tyctyctyctymm(是任意常数)mccc,,,21也是齐次线性差分方程的解.定理10.2n阶齐次线性差分方程有n个线性无关的解.如果)(,),(),(21tytytyn是n阶齐次线性差分方程的n个线性无关的解,则其通解为)()()()(2211tyctyctyctynn(是任意常数).mccc,,,21定理10.3n阶非齐次线性差分方程的通解等于其一个特解与对应的齐次方程的通解之和.例2求方程326512tyyyttt的通解.解齐次方程06512tttyyy两个线性无关的解tty2)(1tty3)(2齐次方程通解ttccty32)(21非齐次方程一个特解tty)(非齐次方程通解.32)(21tcctytt第二节一阶常系数线性差分方程一.一阶线性常系数齐次差分方程一般形式)0,2,1,0(01atayytt讨论:ttayy1设初始条件为0y则01ayy12ayy02ya23ayy03ya0yaytt通解公式)(为任意常数AAaytt二.一阶线性常系数非齐次差分方程一般形式)0,2,1,0()(1attfayytt讨论:)(1tfayytt设初始条件为0y则)0(01fayy)1(12fayy)1()0(02fafya)2(23fayy)2()1()0(203faffaya)(0tFyaytt)]1()2()1()0()([21tftaffafatFtt)(tFAat)(为任意常数A附证:)(0tFyaytt是)(1tfayytt的解ttayy1)]1([01tFyat)]([0tFyaat)()1(taFtF)]()1()1()0([1tftaffafatt)]1()2()1()0([21tftaffafaatt)(tf)1()2()1()0()(21tftaffafatFtt)(tFAaytt)]1()2()1()0()([21tftaffafatFtt以下分四种情况讨论(1)ctf)()1()2()1()0()(21tftaffafatFttcaccacatt21aact1)1(ct1a1a)(为任意常数A通解为:aacAatt1)1(ctA1a1aacAat1ctA1a1acayytt1)(tFAayttty例1求差分方程351ttyy的通解及在370y下的特解.解35caacAaytt15135tA435tA由370y得1237A.4351237tty(2)),()(bccbtft都是常数tttcbayy1)(tFAaytt)1()2()1()0()(21tftaffafatFtt1221ttttcbacbcbacaababctt)(1tctababatttcbayy1)(tFAaytt通解为:ababcAattt)(1ttctaAababaabcbAatt1ttctaAababaty例2求差分方程tttyy21的通解.解121cbaabcbAayttt)1(221)1(ttA.32)1(ttA待定系数法做题步骤(1)将方程中的系数变为1;(2)根据的具体形式假定特解的形式;(3)将假定的特解代入方程中确定待定系数;(4)写出一阶线性常系数非齐次差分方程的通解.tttyAay1ty)(tf(3))()(tpbtft(是常数,为m次多项式)b)(tp待定系数法求特解01()tmmtybBBtBtba01()tmmtytbBBtBtba其中01,,,mBBB为待定系数.例3求差分方程)2(341tyyttt的通解.解)2141(3411tyyttt设非齐次的特解为)(321BtBytt代入非齐次方程得1211011121BB齐次通解为1()4ttyA故非齐次的通解为).12110111(3)41(tAyttt(4)tbtttf)sincos()(都为已知常数),,,(b待定系数法求特解其中,为待定系数.ttbtty)sincos(例4求差分方程tyytttcos21的通解.解设非齐次的特解为)sincos(2ttytt代入非齐次方程得032齐次通解为1ttyAA故非齐次的通解为.cos232tAytt则非齐次的特解为tyttcos232作业题1.习题十(A)1、2、4、5、6、7.2.习题十(B)1、2、4、5.本章基本要求1.了解差分与差分方程及其通解与特解的概念.2.掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法.3.会用差分方程求解简单的经济应用问题.本章重点、难点重点：一阶常系数线性差分方程的求解.难点：高阶常系数线性差分方程的求解.