比例的有关知识

比和比例的有关知识一、比的认识：比的含义：两数相除，又叫做这两个数的比。1、比与除法、分数有什么关系？比跟除法、分数比较，比的前项相当于被除数、分子，比的后项相当于除数、分母，比值相当于商、分数值，比号相当于除号、分数线。因为除数和分母不能为零，所以比的后项也不能为0,。两个同类项必须保证单位相同，求两个带有不同单位的同类量的比，要先把两个量的单位统一。2、两个同类量相比，它们的比值不带单位。3、化简比。把比化成最简的整数比叫作化简比，即比的前项和后项的最大公因数是1.4、比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个不为0的数，比值不变。5、按一定的比进行分配的应用有关按一定的比进行分配的问题有四种情况：（一）、已知总量及两个部分量间的比的关系，求部分量。如：一筐220千克的梨，要按3:2分给幼儿园大班和小班，大班和小班各分得多少千克？（二）、已知一个部分量和两个部分量间比的关系，求总量。如:\一种盐水，盐和水的质量比是1:25，现有盐15.5克，可配制成多少克这样的盐水？（三）、已知一个部分量和两个部分量间比的关系，求另一个部分量。如：一种喷果树的药水，农药和水的质量比是,4:160，现有农药4千克，需要加水多少千克？怎样解答？（四）、已知两个部分量间比的关系及差，求部分量及总量。如：希望小学五年级男生人数和女生人数的比是13:12.已知五年级男生比女生多3人，这个学校五年级有学生多少人？6、例：小清要调制2.2千克巧克力奶，巧克力与奶的质量比是2:9，需要巧克力和奶各多少千克？分析：巧克力与奶的质量是2:9，表明2.2千克巧克力奶共可看成11份，其中巧克力占2∕11，奶占9∕11，根据分数的意义可求出巧克力和奶各多少千克。2＋9=11巧克力：2.2×2∕11=0.4（千克）奶：2.2×9∕11=1.8（千克）或:2.2÷(2＋9﹚=0.2(千克)巧克力;0.2×2=0.4(千克)奶：0.2×=1.8（千克）答：需要巧克力0.4千克，奶1.8千克。7、练习：①、甲、乙两班人数比为3:4，其中甲班有42人，甲乙两班共有多少人？②、一种药水，药与水的质量比是1；150，现有3千克药，需要加水多少千克？③、六年级男生与女生人数比是2:3，其中女生比男生多15人，求六年级共有多少人，男女生各多少人？④、工人配制混凝土，水泥、沙子、石子的比是3:2:5，要配制这种混泥土5000千克，需要水泥、沙子和石子各多少千克？⑤、一种饮料中的果汁和白糖之比是2:1，白糖和水的比是1:9，现有120千克这种饮料，果汁、白糖和水各多少千克？、⑥、甲、乙、丙三个数的比是2:3:5，平均数是116，求丙数是多少？⑦、长方体棱长和为216厘米，它的长、宽、高的比是4:3:2，这个长方体的表面积是多少平方厘米？⑧、汽车从甲地到乙地，已行驶了30千米，已行驶的路程与剩下的路程的比是2:5，甲、乙两地相距多少千米？⑨、甲、乙两车同时从A、B两地出发，相向而行，经过5小时相遇，相遇时乙车行了180千米，如果甲、乙两车的速度比是5:6，那么A、B两地相距多少千米？⑩、一个直角三角形的两个锐角的度数比是7;8,这两个锐角分别是多少度？⑾、气象小组同学统计本地四月份晴天、阴天、雨天的天数比是2:3:1，四月份的晴天、阴天、雨天各多少天？⑿、蓝天小学和新世纪小学学生人数的比是3:5。如果从蓝天小学转入新世纪小学150人，则蓝天小学与新世纪小学学生人数比是3:7，求原来蓝天小学和新世纪小学各有多少人？⒀、六（1）班原有学生42人，其中男生占74，转来女生若干人后，男生和女生人数比是6:5，现在有学生多少人？⒁、小强、小东和小红三人的平均体重是70千克，已知小强与小东的体重比是2:3，小东和小红的体重比是4:5，他们三人的体重各是多少？⒂、果园里共有果树140棵，其中苹果树与桃树的比是2;3,桃树与梨树的比是4:5，这三种果树各有多少棵？8、小结：解决与比的应用相关的问题应先求出把总量按比分成了几份，再把相关比化成分数来解答；或用平均分的方法先求出一份是多少，再来解答二、（1）比例的意义①要点：表示两个比相等的式子叫做比例。②例题：应用比例的意义判断6.4:4和9.6:6能否组成比例？因为：6.4:4=6.4÷4=1.69.6:6=9.6÷6=1.6所以：6.4:4=9.6:6（2）比例的基本性质①要点：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项；在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本性质。②例题：3：8=18：483×48=8×18内项外项例题：运用比例的基本性质判断3．6：1．8和0．5：0．25能否组成比例？因为3.6×0.25=0.91.8×0.5=0.9所以3．6：1．8=0．5：0．25例题：从12的因数中任意选出4个数，再组成8个比例式。因为：12=1×12=2×6=3×4所以从12的因数中任意选出两组4个数并运用比例的基本性质可以组成8个不同的比例。2×6=3×4（2）︰（3）=（4）︰（6）（3）︰（2）=（6）︰（4）（2）︰（3）=（4）︰（6）（3）︰（2）=（6）︰（4）（6）︰（4）=（3）︰（2）（4）︰（6）=（2）︰（3）（6）︰（4）=（3）︰（2）（4）︰（6）=（2）︰（3）（3）解比例①要点：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中的另一个未知项。求比例的未知项，叫做解比例。②例题：3:8=ⅹ:40x9=8.05.48ⅹ=3×404.5ⅹ=9×0.88ⅹ=1204.5ⅹ=7.2ⅹ=15ⅹ=1.6(4)比例尺①要点：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。比例尺=实际距离图上距离，比例尺根据实际距离是放大还是缩小，分为放大比例尺和缩小比例尺；根据表现形式的不同，可分为数值比例尺和线段比例尺。②例题：在一幅某乡农作物布局图上，20厘米表示实际距离16千米。求这幅图的比例尺。16千米=1600000厘米160000020=800001例题：说出下面比例尺表示的意思。这是线段比例尺，它表示图上1厘米的距离代表实际距离200千米。例题：在一幅比例尺是1：500000的地图上，量得甲、乙两城的距离是12.5厘米。甲、乙两城实际相距多少千米？方法1、12.5×500000=6250000（厘米）=62.5（千米）方法2、2.5×5=62.5（千米）方法3、12.5÷5000001=12.5×500000=6250000（厘米）=62.5千米解：设甲、乙两城实际相距ⅹ厘米。5.12=50000011ⅹ=12.5×500000ⅹ=62500006250000（厘米）=62.5千米（5）面积变化①要点：把一个平面图形按照一定的倍数（n）放大或缩小到原来的几分之一（n1）后，放大（或缩小）后与放大（或缩小）前图形的面积比是n²:1（或1:n²）。②例题：下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们的长和宽，算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。量得小长方形的长是2.5厘米，宽是1厘米；大长方形的长是7.5厘米，宽是3厘米。大长方形与小长方形长的比是7.5:2.5=3:1，宽的比是3:1。小长方形的面积大长方形的面积=15.235.7=5.25.7×13=9:1=3²:1大长方形与小长方形面积的比是9:1。⑹、图形的放大或缩小①要点：把一个图形按一定比放大或缩小，就是把它的每条边按一定的比放大或缩小。②例题：一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1:3的比缩小后，新图片的长是（）厘米，宽是（）厘米，这张图片（）不变，大小（）。一张长方形图片，长12厘米，宽9厘米。按1:3的比缩小后，新图片的长是（4）厘米，宽是（3）厘米，这张图片（形状）不变，大小（变了）。例题：一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（）的比放大后，边长变为30厘米。一块正方形的花手帕，边长10厘米，将其按（3:1）的比放大后，边长变为30厘米。例题：按2:1的比画出平行四边形放大后的图形，按1:3的比画出长方形缩小后的图形。3、确定位置等内容①要点：知道了物体的方向和距离，就能确定物体的位置。根据物体的位置，结合比例尺的相关知识，可以在平面图上画出物体的位置。画的时候先按方向画一条射线，在根据图上距离找出点所在的位置。描述行走路线要依次逐段地说，每一段都应说出行走的方向与路程。②例题：下图是按1︰50000的比例尺绘出的方位图。说一说商店、公园、电影院的位置。电影院●30º●●40º广场公园●商店公园在广场的东面（0.75）千米处。量得公园到广场的图上距离是1.5厘米，1.5×50000=75000厘米=0.75千米电影院在广场的（北）偏（东）（60º）方向（0.75）千米处。商店在广场的（南偏西50º方向1.5千米处）。量得商店到广场的图上距离是3厘米例题：下图是某市旅游1号车行驶的线路图，请根据线路图填空。旅游1号车从起点站出发，向（）行驶到达青水公园，再向（）偏（）（）的方向行（）千米到达抗战纪念碑。由绿博园向南偏（）（）的方向行（）千米到达购物中心，再向北偏（）（）的方向行（）千米到达人民公园。旅游1号车从起点站出发，向（东）行驶到达青水公园，再向（北）偏（东）（40º）的方向行（1.8）千米到达抗战纪念碑。由绿博园向南偏（东）（60º）的方向行（1.7）千米到达购物中心，再向北偏（东）（70º）的方向行（1.5）千米到达人民公园。⒍、成正比例和成反比例的量（1）正比例的意义和图像①要点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：xy=K（一定）用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一种量的值，估计另一种量相对应的值。②例题：仔细观察下表，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？表格1数量/本13681020……总价/元41224324080……14=4，312=4，624=4……因为数量总价=单价（一定），所以单价一定时，总价和数量成正比例。例题：在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当（）一定时，（）与（）成正比例；当（）一定时，（）与（）成正比例。例题：某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？造纸时间/时1234……造纸吨数/吨1.5……根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。吨数/吨65432101234567时间/时造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？因为造纸时间造纸吨数=每小时造纸吨数（一定），所以每小时造纸吨数一定时，造纸吨数与造纸时间成正比例。根据图像判断，5小时造纸多少吨？根据图像判断，5小时造纸7.5吨（2）反比例的意义①要点：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以用这样的式子来表示：ｘｙ=K（一定）。②例题：仔细观察下表，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：单价/元1.523456……数量/本403020151210……1.5×40=60，2×30=60，4×15=60……因为单价×数量=总价（一定），所以总价一定时，单价和数量成反比例。例题：在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当（）一定时，（）与（）成反比例。练习、1、1、下图的比例尺是40001，量出图上各数据，求出它的实际占地面积是多少平方米？（量时得数保留整厘米数）2、在下图中量出学校到汽车站的图上距离，再据比例尺算出实际距离。①学校到汽车站的图上距离是()厘米②汽车站到商场的图上距离是()厘③商场在汽车站