《等差数列的前n项和公式》教学设计

《等差数列的前n项和公式》教学设计淅川中学高中数学组：牛会芬一．教学目标：1、知识目标（1）探索并掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法；（2）能应用等差数列前n项和公式求一些简单的数列问题。2、能力目标（1）通过公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的数学方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。（2）从公式的应用中体会到方程与函数的思想。3、情感目标通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。从倒放梯形钢管和三角形宝石的几何图形中体会数学的对称美。二．教学重点、难点：1、等差数列前n项和公式及应用是重点。2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。解决办法:以梯形、三角图案入手，得自高斯算法的启发，借助几何图形的变化得到“倒”的思路。并通过一个采用“倒序相加法”的求和问题加强学生对这一方法的掌握。三．设计理念：在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，由浅入深，层层深入，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。四．教学方法：1、启发式教学。从梯形、三角形图案入手，以高斯算法引入，启发、诱导学生，让学生主动发现问题，得到公式推导的思路，并能自觉地得到解决办法；指导学生合情推理，加深认识，正确运用。2、探究式学习。从高斯算法到倒序相加法，从特殊数列到一般数列求和，从公式的认识到运用，都是以学生探究为主，老师适当指导，总结。用游戏的方法调动学生的积极性五．教学用具多媒体软件，展台，电脑六．教学过程：(一)创设问题情境情景引入:（播放媒体资料）两式相加：2s8=(4+11)+(5+10)+…+(11+4)共8项相加11548s这两堆钢管总数相等，每一层的钢管数都相等,都是15,总共是8层.如右图探究发现如图所示,表示堆放的钢管共8层,自上而下各层的钢管数组成等差数列4,5,6,7,8,9,10,11,求钢管的总数.问题1：60211488s410118s问题2：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？探究发现如下图每堆宝石数目相等，每层宝石都相等，都是22颗，共21层121112121220222020319331919212121s1202121s211212111如果一个等差数列已知首项a1，末项an和项数n，如何求和sn？21(121)212s设计说明：在知道了“首尾配对”算法之后，同学们很容易联想到摆出几何图形，将两个三角形拼成平行四边形.让学生初步形成数形结合的思想,这是在高中数学学习中非常重要的思想方法.借助图形理解逆序相加,也为后面公式的推导打下基础.因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。（二）公式推导将各项正序排列得:121nnnSaaaa将各项倒序排列得:121nnnSaaaa两式相加得：12112()()()nnnnSaaaaaa又因为可以根据等差数列的性质:若,mnpq则mnpqaaaa231212nnnnaanaanaans即:22223121nnnnaanaanaans公式一:*1(),2nnnaaSnN若已知a1，n，d，则如何表示sn呢？将等差数列的通项公式1(1)naand代入公式一得,等差数列的前n项和的另一个公式:公式二:12(1)2nnandS1(1)2nnnad小结（1）公式推导的方法，倒序相加法。该方法应用举例：已知函数满足,11xfxfxf已知函数满足,11xfxfxf4321213141fffffffs的值4321213141fffffffs的值4131211234fffffffs4131211234fffffffs两式相加得：741472ffs两式相加得：741472ffs27s求解:设计说明：这道题体现了知识的迁移，既开阔学生的视野，又使学生再次体验了“倒序相加法”求和方法的妙处，从而激发了学生的学习兴趣和求知欲。（2）两个公式涉及到五个量，可知三求二，（3）公式特征设计说明：通过对公式特征的总结，目的一可以引出例2的另一种解法，另一目的可以引出课后思考，（三）公式应用例题选讲（1）求正整数列中前n个偶数的和。（2）已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,求其前n项和.设计说明：例（1）及例（2）有一定梯度，例2有点活，都反映了公式的特点，达到理解公式、自如地运用公式的目的。（四）课后练习251215,3616naaaaa在等差数列中，求前项的和。3.251215,3616naaaaa在等差数列中，求前项的和。3.1n8=210nadSna，，，求和2.1n8=210nadSna，，，求和2.1.184188naandS，，，求和1.184188naandS，，，求和设计说明：练习一体现了公式的正用，练习二体现了公式的逆灵活运用，更要突出解选择题的方法技巧。练习三体现了公式的活用，三种题型，训练全面；能很好地让学生的能力得到逐步提升。2nSanbn（五）课堂小结4.公式的应用中的数学思想----方程思想和函数思想5.公式的推导和应用中的数学方法----从特殊到一般，再从一般到特殊3.结合等差数列的性质和公式特征，巧妙灵活运用公式。1(1)2nnnad-----知三求二*1(),2nnnaaSnN2.等差数列的前n项和的两个公式:1.首尾配对的求和问题常用方法-----倒序相加法设计说明：课堂小结是以让学生谈谈收获的形式展现出来，目的是给学生一个宽松的环境，便于归纳总结，（六）课后作业根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的有关未知数na根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的有关未知数na(1)a１=5,an=95,n=10,求d和sn(2)a1=100,d=－2,n=50，求an和sn1n120=1352nndSaa，，，求和B组（能力提高）1.已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，求项数n2.已知f(x)满足f(x)+f(1-x)=2，求s=f(-5)+f(-4)+f(-3)+…+f(6)的值。A组（基础巩固）设计说明：本班学生学习层次差别比较大，A组适合学习在中下等的学生，B组适合学习在中上等的学生。以此体现分层教学，使该班学生都有所收获。（七）课后思考那么这个数列是等差数列吗？2.如果一个等差数列的公差d≠0，那么它的公差d，与它的前n项和的最值之间存在什么关系？1.如果一个数列的前n项和满足bnansn2ns1.如果一个数列的前n项和满足bnansn2ns1.如果一个数列的前n项和满足bnansn2ns设计说明：课后思考的内容，实际上是下一节课要探讨的重点内容，这样设计起到了承上启下的作用七．板书设计八．教学反思1、针对学生实际合理地对教材进行了个性化处理，挖掘了教材中可探究的因素，促使学生探究、推导。例如：等差数列前n项和公式的推导及特征的总结，是通过具体的例子，引到一般的情况，激励学生进行猜想，再进行论证得出；这样处理教材，使学生的思维得到了很大的锻炼。2、本节课主要采用启发式教学探究式学习等教学方法，同时采用多媒体教学手段进行教学，通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活，创设情境，重在启发引导，使学生由浅到深，由易到难分层次对本节课内容进行掌握。学生在学习的过程中体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。3、在教学中，鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，渗透了数形结合的数学思想。总之，整个教学过程都体现了从“一般到特殊，再从特殊到一般”的认知规律。课题：等差数列前n项的和公式：an=a1+（n-1）d2)(1nnaanSdnnna2)1(1多媒体播放和展台学生演板