矩形的性质和判定(1)

北师大版九年级(上)1.2矩形的性质与判定(1)问题情景下面图片中都含有一些特殊平行四边形，观察这些特殊平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？平行四边形有一个直角情景引入如图是一个活动的平行四边形，当它的一个角发生变化时，这个平行四边形会形成一个怎样的特殊平行四边形？一个内角为直角平行四边形一个内角为直角矩形新知归纳有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。矩形的定义：ABCD一个内角是直角ABCD合作交流ⅰ、矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗？1、矩形的两组对边分别平行；2、矩形的两组对边分别相等；3、矩形的两组对角分别相等；4、矩形的对角线互相平分。ABCDO新知探究Ⅰ、用矩形纸片折一折，回答下列问题：(1)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？(2)图中有哪些相等的角？矩形是轴对称图形，它有两条对轴.矩形的四个角都相等，且都是直角.CABD(3)矩形的对角线有什么关系？矩形对角线相等.O合作交流ⅱ、如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB∴AB∥CDABCDO∴∠ABC+∠BCD=180°又∵∠ABC=90°∴∠BCD=90°∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°合作交流ⅱ、如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD.证明:(2)∵四边形ABCD是矩形∴AB=DC在△ABC和△DCB中∵AB=CD，∠ABC=∠DCB，BC=CB∴△ABC≌△DCB∴AC=DBABCDO新知归纳矩形的特性：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线相等。例1、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。范例讲解ABCDO解：∵四边形ABCD是矩形∴AC=BD且OA=AC，OD=BD2121∴OA=OD∵∠AOD=120°∴∠OAD=∠ODA=30°且∠DAB=90°∴BD=2AB=5你还有其他方法吗？新知探究Ⅱ、如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点E.ABCDE(1)矩形的对角线AC与BD有怎样的关系？AC=BD(2)BE与BD有怎样的关系？BE=BD21(3)BE与AC有怎样的关系？BE=AC21(4)由上述关系你能得到什么结论？直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.新知归纳定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.合作交流ⅳ、你能写出“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题吗？如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。你能证明它吗？新知探究Ⅲ、求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.DABCO求证：△ABC是直角三角形。证明：延长BO至D，使OD=OB。∵OB为中线已知：如图，△ABC中，OB为中线，且OB=AC。21∴OA=OC21∵OB=AC∴AC=BD∴四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是矩形∴△ABC是直角三角形中线加倍法巩固练习1、如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，AB=6，OA=4，求BD与AD的长.ABCDO巩固练习2、一个矩形的对角线长6cm，对角线与另一边的夹角是45°，求这个矩形的各边长.3345°xx巩固练习3、一个矩形的两条对角线的一个夹角为60°，对角线长为15，求这个矩形较短边的长.巩固练习4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形ADCE的形状，并证明你的结论.CABED课堂小结有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。1、矩形的定义：2、矩形的特性：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线相等。3、定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.