微难点13-圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)

第1页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)第2页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航析典例·举题破难栏目导航解类题·融会贯通第3页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航析典例·举题破难第4页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航若AB是圆O：x2＋y2＝r2的直径，P是圆O上一点，且PA，PB都存在非零斜率kPA，kPB，则kPA·kPB＝－1；若M是AB的中点，且AB，OM都存在非零斜率kAB，kOM，则kAB·kOM＝－1.通过类比得到如下结论：AB是过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)中心的弦，P是椭圆上任意一点，且PA，PB都存在非零斜率kPA，kPB，则kPA·kPB＝________；若M是AB的中点，且AB，OM都存在非零斜率kAB，kOM，则kAB·kOM＝________.(填空并证明此结论)－b2a2－b2a2第5页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【思维引导】直接设出点A(x1，y1)，P(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，求出kPA，kPB并运用椭圆方程消去y0即可．【解析】(1)如图(1)，设A(x1，y1)，P(x0，y0)，则B(－x1，－y1)．图(1)因为A，P都在椭圆上，所以x21a2＋y21b2＝1，x20a2＋y20b2＝1，所以y21＝a2b2－b2x21a2，y20＝a2b2－b2x20a2.又PA，PB都存在非零斜率kPA，kPB，所以kPA·kPB＝y0－y1x0－x1·y0＋y1x0＋x1＝y20－y21x20－x21＝b2x21－x20a2x20－x21＝－b2a2，所以kPA·kPB＝－b2a2.第6页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航(2)如图(2)，过点B作椭圆的直径BC，连接AC，则OM∥AC，图(2)由上述类比知kABkOM＝kABkAC＝－b2a2.第7页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【精要点评】椭圆中两直线的斜率乘积为定值的定理，证明简单，规律明显，记忆容易．可以直接用于选择题和填空题；对于解答题，有了这些性质后，也容易引起联想，沟通思路，为了规范解题，可以把要用的性质作为引理，先证明一下再应用．第8页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航如图，在平面直角坐标系xOy中，M，N分别是椭圆x24＋y22＝1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.(1)若直线PA平分线段NM时，求k的值；(变式)第9页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【解答】由题知a＝2，b＝2，故M(－2,0)，N(0，－2)，所以线段MN中点的坐标为－1，－22.因为PA平分线段MN，所以直线PA经过线段MN的中点－1，－22.又直线PA过原点，所以k＝0＋220＋1＝22.第10页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【解答】直线PA的方程为y＝2x，代入椭圆的方程得x24＋4x22＝1，解得x＝±23，所以P23，43，A－23，－43，所以C23，0，则直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x－y－23＝0，所以点P到直线AB的距离为d＝23－43－231＋1＝223.(2)当k＝2时，求点P到直线AB的距离d；第11页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航(3)对任意的k＞0，求证：PA⊥PB.你能利用刚才我们所探究的结论来解决(3)吗？【解答】设直线AB，PB的斜率分别为kAB，kPB，则kAB·kPB＝－b2a2＝－12.因为点A，P关于原点对称，所以k＝2kAB，所以k·kPB＝－1，所以PA⊥PB.第12页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航如图，在平面直角坐标系xOy中，B，C，D是椭圆x24＋y2＝1上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2＝k3k4.(1)求k1k2的值；(例2)【思维引导】根据椭圆的对称性，合理设出点B，C，D的坐标，通过斜率公式和椭圆方程向目标转化．【解答】设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(－x1，－y1)，则k1k2＝y2－y1x2－x1·y2＋y1x2＋x1＝y22－y21x22－x21＝1－x224－1－x214x22－x21＝－14.第13页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【解答】方法一：由(1)知k3k4＝k1k2＝－14，故x1x2＝－4y1y2，(2)求OB2＋OC2的值．所以(x1x2)2＝(－4y1y2)2，即(x1x2)2＝161－x2141－x224＝16－4(x21＋x21)＋x21x22，所以x21＋x22＝4.又2＝x214＋y21＋x224＋y22＝x21＋x224＋y21＋y22，故y21＋y22＝1，所以OB2＋OC2＝x21＋y21＋x22＋y22＝5.第14页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航方法二：由(1)知k3k4＝k1k2＝－14.将直线y＝k3x的方程代入椭圆x24＋y2＝1中，得x21＝41＋4k23.同理可得，x22＝41＋4k24.所以x21＋x22＝41＋4k23＋41＋4k24＝41＋4k23＋41＋4－14k32＝4.以下同方法一．第15页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航圆上任意一点与直径两端点连线的斜率之积为定值－1.类比得到：1.AB是过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a0，b0)中心的弦，P是椭圆上任意一点，且PA，PB都存在非零斜率kPA，kPB，则kPA·kPB＝－b2a2；若M是AB的中点，且AB，OM都存在非零斜率kAB，kOM，则kAB·kOM＝－b2a2.2.AB是过双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)中心的弦，P是双曲线上任意一点，且PA，PB都存在非零斜率kPA，kPB，则kPA·kPB＝b2a2；若M是AB的中点，且AB，OM都存在非零斜率kAB，kOM，则kAB·kOM＝b2a2.3.圆锥曲线中的这类“亚”结论较多，在复习中，我们要善于联系、思考、归纳．第16页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航解类题·融会贯通第17页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航1.已知直线y＝12x与双曲线x29－y24＝1交于A，B两点，P为双曲线上不同于A，B的点，当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝________.49【解析】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，联立y＝12x，x29－y24＝1，得y2＝367，y1＋y2＝0，y1y2＝－367，x1＋x2＝0，x1x2＝－4×367.由kPA·kPB＝y0－y1x0－x1·y0－y2x0－x2＝y20－3679y204＋1－4×367＝4y20－3679y20－367＝49，所以kPA·kPB为定值49.第18页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航2.已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1斜率的取值范围是____________．38，34【解析】因为kPA1·kPA2＝－34，所以kPA1＝－34kPA2，又kPA2∈[－2，－1]，所以kPA1∈38，34.第19页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航3.已知椭圆C：x24＋y22＝1，过其长轴AB的六等分点(除顶点A，B)作斜率为k(k≠0)的一组平行线，分别交椭圆C于点P1，P2，…，P10，那么10条直线AP1，AP2，…，AP10的斜率之积为________．－132【解析】不妨设P1，P3，P5，P7，P9这5个点依次在x轴上方，对应的5个点P2，P4，P6，P8，P10依次在x轴下方，则由椭圆的对称性知，kAPi＝kBP11－i，其中i＝1,2，…，10.因为kAPikBPi＝－12，所以10条直线AP1，AP2，…，AP10的斜率之积为－125＝－132.第20页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航4.已知椭圆C：mx2＋y2＝1(0＜m＜1)，直线l：y＝x＋1，若椭圆C上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，则椭圆C的离心率e的取值范围是__________．63，1【解析】设线段AB的中点为P，则kAB·kOP＝－m，又kAB＝－1，所以kOP＝m，联立直线l与直线OP，得P1m－1，mm－1.因为点P在椭圆内，所以m1m－12＋mm－12＜1，所以m∈0，13，所以离心率e＝1－m∈63，1.第21页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航5.已知P是椭圆E：x24＋y2＝1上的任意一点(异于左，右顶点A，B)，直线PA，PB分别交直线l：x＝103于点M，N，求证：PN⊥BM.【解答】设M103，y1，则kMB＝3y14，kPA＝kMA＝3y116，所以kMB＝4kPA.设P(x，y)，则kPA·kPB＝yx＋2·yx－2＝y2x2－4＝1－x24x2－4＝－14，所以kPB·kMB＝－1，即PN⊥BM.第22页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航6.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2＋y2＝4，椭圆C：x24＋y2＝1，A为椭圆的右顶点．过原点O且异于坐标轴的直线与椭圆C交于B，C两点，直线AB与圆O的另一交点为P，直线PD与圆O的另一交点为Q，其中D－65，0.设直线AB，AC的斜率分别为k1，k2.(1)求k1k2的值．(第6题)第23页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【解答】设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，x204＋y20＝1.因为A(2,0)，所以k1＝y0x0－2，k2＝y0x0＋2，所以k1k2＝y0x0－2·y0x0＋2＝y20x20－4＝1－14x20x20－4＝－14.第24页微难点13圆锥曲线中的对称问题(斜率乘积问题)高考总复习一轮复习导学案·数学栏目导航【解答】设直线AP的方程为y＝k1(x－2)，联立y＝k1x－2，x2＋y2＝4，得(1＋k21)x2－4k21x＋4(k21－1)＝0，解得xP＝2k21－11＋k21，yP＝k1(xP－2)＝－4k11＋k21.(2)记直线PQ，BC的斜率分别为kPQ，kB