delta函数性质汇总

补充材料：函数一、问题的提出在物理学中，为了突出重要因素，常常运用质点、点电荷、瞬时力等抽象模型。“一切科学的（正确的、郑重的、非瞎说的）抽象，都更深刻、更正确、更完全地反映着自然。”质点体积为零，所以它的密度（质量/体积）为无限大，但密度的体积积分（即总质量）为有限的。点电荷的体积为零，所以它的电荷密度（电量/体积）为无限大，但电荷的体积积分（即总电量）却又是有限的。瞬时力的延续时间为零，而力的大小为无限大，但力的时间积分（即冲量）是有限的。„„如何来描述这些抽象模型中的物理量（密度、瞬时力）的分布呢？这在物理上有着重要的意义。下面讨论的函数将能给这些问题做出圆满的回答：二、函数的定义为了研究上述的这样一类包含有某种无限大的量。在处理这些无限大时有一个精确的符号，狄拉克引入一个量)(x，称为狄拉克函数，简称函数，它的定义如下：)0(,)0(,0)(000xxxxxx①)(,1)或都大于都小于,(,0)(0000bxaxxbadxxxba②②式规定了函数的量纲]/[1)]([0xxx，下图是函数的示意图，曲线的“峰”无限高。但是无限窄，曲线下的面积是有限值1。这样，位于0x而质量为m的质点的密度可记作)xx(m0；位于0x而电量为q的点电荷的电荷密度可记作)(0xxq，总电量qdxxxqdxxxqq)()(00；作用于瞬时0t而冲量为k的瞬时力可记作)(0ttk。数学性质上函数是很奇异的。没有一个平常的函数具有此奇异性。严格说来，它不是传统数学中的函数，它只是一种分布(distrbution)。在物理上是一种理想的点模型，如果在数学上不过分追求严格，函数可以看成某种奇异函数的极限来处理例)(lim1lim22/0xeex(2))(lim24/xeexii(3))(sinlimxxxa(4))(2121limxdkedkeikxikxa(5))(sinlim22xxx(6))(21lim/0xex(7))(lim220xx(8)函数还可用阶梯函数的微商来表示。设0,00,1)(xxx(9)则)()(xx(10)函数还常如下定义，设)(xf是任意连续函数，则)0()()(fdxxxf(11)三、函数的一些简单性质(a))(1)(xaax(12)(b))()(xx(13)(c))()()(afdxaxxf(14)(d))()()(badxbxax(15)(f)0)(xx(16)设方程0)(x只有单根，分别记为),3,2,1(ixi，即0)(ix，但0)(ix，则iiiiixxxxxxx)()()()()]([(17)特例：)ba()],bx()ax([ba1)]bx)(ax[((18))]ax()ax([a21)ax(22)]ax()ax([x21(19))()()(222axaxaxx(20))()(2xxx(21)涉及函数的“微商”的积分。设)(xf微商连续（或分段连续）)()()(xfxdxfxxx(22)类似，如)(xfdxdnn连续，则)()1()()]([xfdxdxdxfxxxnnnn(23)函数可以用任何一组正交归一完备的函数组)(xn来构成nnnxxxx)()()(*(24)例mime)(21)((25)0)()(212)(pp(26)或0)(cos)(cos212)cos(cospp令,0利用1)1(p，得0)(cos)12()cos1(2p(27)0nnn)xx(21n)x(H)x(He!n21)xx(22(28))(xHn是Hermite多项式。A3Hermite多项式Hermite方程为0)1(2uzuu(1)除无穷远点外，方程无奇点。采用级数解法，在z范围中，令0)(kkkzczu(2)代入式(1)，比较同幂项的系数，可得出kc之间的递推关系，,2,1,0,)1)(2()1(22kckkkckk(3)因此，所有偶次项的系数都可用0c来表示，所有奇次项系数都可用1c来表示，把0c与1c作为两个任意常数，从而求得方程(1)的两个线性无关的解553312442201)()(zczcczuzczcczu(4)当z取有限值时，它们都收敛。下面讨论解在z时的渐近行为。由(3)式可知，当k，kkcc/2～k/2。对于mk2（偶），mmcc/22～m/2。它与2ze的Taylor展开02!2mnzmze的相邻项的系数之比相同。因此当z时，)(1zu~2xe类似可以证明当z时，)(2zu~2xze这样的无穷级数解代入谐振子的波函数（见3.5