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1FEDCBAA5A4A3A2A1第7讲正方形的性质与判定一．知识要点：1．正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2．正方形的性质正方形是特殊的平行四边形、矩形、菱形．它具有前三者的所有性质：①边的性质：对边平行，四条边都相等．②角的性质：四个角都是直角．③对角线性质：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角．④对称性：正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．平行四边形、矩形、菱形和正方形的关系：（如图）3．正方形的判定判定①：有一组邻边相等的矩形是正方形．判定②：有一个角是直角的菱形是正方形．二．例题讲解1.正方形的性质【铺垫】正方形有条对称轴．例1．如图，已知正方形ABCD的面积为256，点F在CD上，点E在CB的延长线上，且20AEAFAF，，则BE的长为例2．将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点12...nAAA，，，分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为【铺垫】如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AECE．正方形菱形矩形平行四边形EDCBA2PDCBAGCFEDBABDCAEF例3．如图，P为正方形ABCD对角线上一点，PEBC于E，PFCD于F.求证：APEF.【巩固】☆如图，已知P是正方形ABCD内的一点，且ABP为等边三角形，那么DCP例4．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接,BEDG，求证：BEDG.例5．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上的一点，F为BC延长线上的一点，CECF，30FDC，求BEF的度数.FEPDCBA3FABCDE例6．如图4.6－6，已知E为正方形ABCD的边BC的中点，EF⊥AE，CF平分∠DCG，求证：AE＝EF．解析：可取AB中点M，连结ME，证△AME≌△ECF2.正方形的判定例1．如图所示，在RtΔABC中，∠C＝90°，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，试说明四边形CEDF为正方形。4例2．已知：如图，在ABC中，ABAC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E．⑴求证：四边形ADCE为矩形；⑵当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．例3．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF=CE．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的结论．MENCDBA5练习1.如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：△BEC≌△DEC：（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE的度数．2.已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．求证：OE=OF．63.如图，F为正方形ABCD的对角线AC上一点，FE⊥AD于点E，M为CF的中点．(1)求证：MB＝MD；(2)求证：ME＝MB．