第6章-线性空间练习题

第6章线性空间练习题一、填空题（3515）1.已知三维向量空间的一组基是123(1,0,1),(1,1,0),(2,1,1)，则向量(3,2,1)在这组基下的坐标是．2.从R2的基1211,01到基1211,12的过渡矩阵为．3.已知132326583945A，则0AX解空间的维数是，解空间一组基是．4.设2R中定义11(,)(,)(,),(,)(,)abcdacbdkkabkakb，则2(,,)RR，不作成线性空间的理由可以为．5.设Q是有理数域，22(){|,}QababQ，关于实数的加法和乘法作成线性空间2((),,,)QQ，该空间的维数是．二、单项选择题（3515）1.在下列集合中，对指定的运算不能构成实数域R上的一个线性空间的是()．(A)所有m×n的实矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(B)所有n阶实对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(C)所有n阶实反对称矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法(D)所有n阶可逆矩阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法2.设V＝R3，下列集合为V的子空间的是()．(A)(,,)0abcabc(B)(,,)0abca(C)222(,,)1abcabc(D)(,,),,abcabcQ(Q为有理数域)3.下列线性空间中，()与其它三个空间不同构．(A)2(,,,)RR(B)(,,,)CRC是复数域(C)230{(,,)|}Vxyzxyz(D)(,,,)CCC是复数域4.向量空间12123(,,,)20nWxxxxxx，则W的维数为()．(A)1(B)2(C)n(D)n-15.在nR中，由基12,,,n到基12,,,n的过渡矩阵为C，则C＝()．(A)11212()()nn(B)11212()()nn(C)11212()()nn(D)11212()()nn三、计算题（41040）1.在线性空间3R中，（1）求基向量组123(1,0,1),(0,1,0),(1,2,2)TTT到基向量组123(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)TTT的过渡矩阵C；（2）求(1,3,0)T在基123,,aaa下的坐标．2.设3[]Px的有两个基向量组222123()1,()2,()1fxxfxxxfxxx和22123(),()1,()12gxxxgxxgxxx，(1)求2()965hxxx在这两组基下的坐标；(2)求向量()kx，使它在这两组基下有相同的坐标．3.在23R中，求子空间000{|,,,,}xyWxyzxyztRtz的一组基和维数．4.在4P中，12(1,1,0,1),(1,0,2,3)TT，两个子空间11221234124(,),{(,,,)|20}TVLVxxxxxxx分别求1212,VVVV一组基和维数．四、证明题65301．设线性空间V中12,,,,(1)ss为1s向量，且12s，证明：向量组12,,,s线性无关的充分必要条件是12,,,s线性无关．2．设12,VV是线性空间V的两个子空间，证明：12VV是V的子空间的充分必要条件是1221VVVV或．3．设12,VV是线性空间V的两个子空间，证明：12+VV是直和的充分必要条件是12+VV中至少有一个向量可以唯一地表示为12+，其中1122VV，．4．叙述并证明有限维线性空间上关于两个子空间的维数公式．5．设{(,,)|,}WaabababR，证明：（1）W是3R的子空间；（2）W与2R同构．参考答案一、填空题（3515)1.(-1，0，2)；2.2312；3.2，12(3,1,0,0),(1,0,2,1)TT（不唯一）；4.()kkk；5.2．二、选择题(3515)1.D；2.A；3.D4.D；5.B三、计算题（41040）1.（1）221231110C，（2）(2,5,-1)T2.(1)011132244；(2)Y＝(0,-4,5)T，X＝(1,2,4)T；(3)()0kx。3.基1231100001003000100001,,;dimAAAW4.2V的一组基为123(2,1,0,0),(0,0,1,0),(1,0,0,1)TTT，12VV的一组基1212,,,，维数是4；12VV的一组基0122(,,,)T维数是1．四、证明题65301．利用向量组的线性表示。2．充分性：显然，必要性：考虑反证法3．必要性：显然，充分性：考虑反证法4．（略）5．对照子空间条件，考虑维数