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郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第1页2010年全国硕士研究生入学统一考试数学试题详解及评分参考数学（一）一．选择题：1-8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上.(1)极限2lim()()()xxxxaxb®¥=-+(A)1(B)e(C)abe-(D)bae-【答】应选(C).【解】因22lnln()ln()limln()lim()()1/xxxxxxaxbxaxbx®¥®¥---+=-+()()()3222112=limlim1xxabxabxxxaxbabxxaxbx®¥®¥---+-+==--+-，所以2lim()()()xaxbxxaxbe®¥-=-+，故选(C).(2)设函数(,)zzxy=由方程(,)0yzFxx=确定，其中F为可微函数，且20F¢¹，则zzxyxy¶¶+=¶¶(A)x(B)z(C)x-(D)z-【答】应选(B).【解】在方程两边分别对x和对y求偏导，得122211()0yzFzFxxxx¶¢¢-+-=¶，12110zFFxxy¶¢¢+=¶于是有22()zzxyFzFxy¶¶¢¢+=¶¶，即zzxyzxy¶¶+=¶¶，故选(B).(3)设,mn均是正整数，则反常积分210ln(1)mnxdxx-ò的收敛性郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第2页(A)仅与m的取值有关(B)仅与n的取值有关(C)与,mn的取值都有关(D)与,mn的取值都无关【答】应选(D).【解】显然该反常积分有且仅有两个瑕点0,1xx==，于是需分成两个积分加以考察：()()()22211121002ln1ln1ln1mmmnnnxxxdxdxdxxxx---=+òòò(1)对于()2120ln1mnxdxx-ò，易见被积函数非负，且只在0x+®时无界，于是当1n时，由()+20ln1lim0mnnxxxx®-=及1201ndxxò收敛，知()2120ln1mnxdxx-ò收敛；当1n=时，由212/ln(1)1mmnxxx--:及212101mdxx-ò收敛，知()2120ln1mnxdxx-ò收敛；(2)对于()2112ln1mnxdxx-ò，易见被积函数非负，且只在1x-®时无界，于是当1m时，由2211ln(1)ln(1)lim1lim01/(1)mmmnxxxxxxx--®®---==-及11211mdxx-ò收敛，知2112ln(1)mnxdxx-ò收敛；当1m=时，由2231/211ln(1)ln(1)lim1lim0(1)nxxxxxxx---®®---==-及212101mdxx-ò收敛，知2112ln(1)mnxdxx-ò收敛；由此可见，无论正整数,mn如何取值，()210ln1mnxdxx-ò都是收敛的，故选(D).(4)2211lim()()nnnijnninj®¥===++åå(A)12001(1)(1)xdxdyxy++òò(B)1001(1)(1)xdxdyxy++òò(C)11001(1)(1)dxdyxy++òò(D)112001(1)(1)dxdyxy++òò【答】应选(D).郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第3页【解】记21(,)(1)(1)fxyxy=++，(){},y01,01Dxxy=££££，知(,)fxy在D上可积.用直线()0,1,2,,iixxinn===L与()0,1,2,,jjyyjnn===L将D分成2n等份，可见22221111211()()(1)(1)nnnnijijnijninjnnn=====×++++åååå是(,)fxy在D上的二重积分的一个和式，于是112222001111lim()()(1)(1)(1)(1)nnnijDndxdydxdyninjxyxy®¥====++++++ååòòòò.故选(D).(5)设A为mn´矩阵，B为nm´矩阵，E为m阶单位矩阵.若ABE=，则(A)秩()rAm=，秩()rBm=(B)秩()rAm=，秩()rBn=(C)秩()rAn=，秩()rBm=(D)秩()rAn=，秩()rBn=【答】应选(A).【解】因A是mn´矩阵，故()rAm£，又()()()rArABrEm³==，故()rAm=.同理，可得()rBm=，故选(A).(6)设A为4阶实对称矩阵，且2AAO+=.若A的秩为3，则A相似于(A)1110æöç÷ç÷ç÷ç÷èø(B)1110æöç÷ç÷ç÷-ç÷èø(C)1110æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø(D)1110-æöç÷-ç÷ç÷-ç÷èø【答】应选(D).【解】设l为A的特征值，则由2AAO+=知2+=0ll，即=0l或1-.又因A是实对称矩阵，故A必相似于对角矩阵L，其中L的对角线上的元素为特征值1-或0.再由()3rA=可知()3rL=，故选(D).(7)设随机变量X的分布函数0,0,1(),01,21,1xxFxxex-ìïï=£íï-³ïî则{1}PX==郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第4页(A)0(B)12(C)112e--(D)11e--【答】应选(C).【解】由分布函数的用途，知{1}(1)(1)PXFF-==-1111122ee--=--=-.(8)设1()fx为标准正态分布的概率密度，2()fx为[1,3]-上均匀分布的概率密度，若12(),0()(0,0)(),0afxxfxabbfxx£ì=íî为概率密度，则,ab应满足(A)234ab+=(B)324ab+=(C)1ab+=(D)2ab+=【答】应选(C).【解】由题意，有2211()2xfxep-=，21/4,(1,3)()0xfxÎ-ì=íî，其他，()1fxdx+¥-¥=ò而0120()()()fxdxafxdxbfxdx+¥+¥-¥-¥=+òòò()3201=2abfxdx+ò13=24ab+，于是有13124ab+=，即234ab+=.故选(C).二、填空题：9:14小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9)设20,ln(1),ttxeyudu-ì=ïí=+ïîò则220tdydx==.【答】应填0.【解】因2/ln(1)=/tdydydttdxdxdte-+=-,22222ln(1+)12=[][ln(1)]/1ttdydttetdxdtedxdtt-=++-+，故2020tdydx==.(10)20cosxxdxp=ò.【答】应填4p-.【解】令xt=，则2dxtdt=，于是有222000000cos2cos2sin4sin4cos4cos4.xxdxttdtttttdtttdtppppppp==-=-=-òòòò(11)已知曲线L的方程为1||([1,1])yxx=-Î-，起点是(1,0)-，终点为(1,0)，则曲线积分2Lxydxxdy+=ò.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第5页【答】应填0.【解法一】补有向线段:0([1,1])Lyx=Î-，起点为(1,0)，终点为(1,0)-，设由L与L围成的平面区域为D，则利用格林公式及区域D关于y轴的对称性，得222(2)00LDLLLxydxxdyxydxxdyxydxxdyxxdxdy++=+-+=---=òòòòò【解法二】记1:1([1,0])Lyxx=+Î-，起点是(1,0)-，终点是(0,1)；2:1([0,1])Lyxx=-Î，起点为(0,1)，终点为(1,0)有12222+LLLxydxxdyxydxxdyxydxxdy+=++òòò012210=[(1)][(1)]xxxdxxxxdx-+++--òò1212=()()02323-++-=.(12)设22{(,,)|1}xyzxyzW=+££，则W的形心的竖坐标z=.【答】应填23.【解】记(){}22,y1Dxxy=+£，有221xyDdxdydzdxdydz+W=òòòòòò22=(1)Dxydxdy--òò21200=(1)drrdrpq-òò=2p，2212122240011[1()]=(1)223xyDDzdxdydzdxdyzdzxydxdydrrdrppq+W==-+-=òòòòòòòòòò，从而W的形心的竖坐标为23DDzdxdydzzdxdydz==òòòòòò.(13)设1(1,2,1,0)Ta=-，2(1,1,0,2)Ta=，3(2,1,1,)Taa=.若由123,,aaa生成的向量空间的维数为2，则a=.【答】应填6.【解】因由123,,aaa生成的向量空间的维数为2，故矩阵()123,,aaa的秩为2，而()123112112211013,,=101006020000aaaaæöæöç÷ç÷ç÷ç÷®ç÷ç÷--ç÷ç÷èøèø，故6a=.(14)设随机变量X的概率分布为{},0,1,2,!CPXkkk===L，则2EX=.【答】应填2.郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第6页【解】由概率分布的性质，有{}01kkPXx¥===å，即01!kCk¥==å，亦即1Ce=，1Ce-=.由此可见，X服从参数为1的泊松分布，于是22()112EXDXEX=+=+=.三、解答题（15～23小题，共94分.）(15)（本题满分10分）求微分方程322xyyyxe¢¢¢-+=的通解.解：对应齐次方程320yyy¢¢¢-+=的两个特征根为121,2rr==，其通解为212xxYCeCe=+.……4分设原方程的特解形式为*()xyxaxbe=+，则*2((2))xyaxabxbe¢=+++，*2((4)22)xyaxabxabe¢¢=++++，代入原方程解得1,2ab=-=-，……8分故所求通解为212(2)xxxyCeCexxe=+-+……10分(16)（本题满分10分）求函数2221()()xtfxxtedt-=-ò的单调区间与极值.解：()fx的定义域为(,)-¥+¥，由于2222211()xxttfxxedttedt--=-òò，2224423311()2222xxtxxtfxxedtxexexedt----¢=+-=òò，所以()fx的驻点为0,1x=±……3分列表讨论如下：x(,1)-¥-1-(1,0)-0(0,1)1(1,)+¥()fx¢-0+0-0+()fx↘极小↗极大↘极小↗……6分因此，()fx的单调增加区间为(1,0)-及(1,)+¥，单调减少区间为(,1)-¥-及(0,1)；极小值为(1)0f±=，极大值为21101(0)(1)2tftedte--==-ò……10分(17)（本题满分10分）(I)比较10|ln|[ln(1)]nttdt+ò与10|ln|(1,2,)nttdtn=òL的大小，说明理由；(II)记10|ln|[ln(1)](1,2,)nnuttdtn=+=òL，求极限limnnu®¥.解：（I）当01t££时，因为ln(1)tt+£，所以|ln|[ln(1)]|ln|nntttt+£，因此1100|ln|[ln(1)]|ln|nnttdtttdt+£òò……4分郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2010年数学试题详解及评分参考2010年•第7页（II）由(I)知，11000|ln|[ln(1)]|ln|nnnuttdtttdt£=+£òò.因为111200011|ln|ln1(1)nnnttdtttdttdtnn=-==++òòò，所以10lim|ln|0nnttdt®¥=ò……8分从而lim0nnu®¥=……10分(18)（本题满分10分）求幂级数121(1)21nnnxn-¥=--å的收敛域及和函数.解：记12(1)()21nnnuxxn--=-，由于221()21limlim()21nnnnuxnxxuxn+®¥®¥-==+，所以当21