2012年考研数学一真题及答案详解

第1页共17页2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3（2）设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中n为正整数，则'(0)f（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn（3）如果(,)fxy在0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A）若极限00(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在(0,0)处可微（B）若极限2200(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在(0,0)处可微（C）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限00(,)limxyfxyxy存在（D）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限2200(,)limxyfxyxy存在（4）设2kxkeIesinxdx(k=1,2,3),则有D（A）I1I2I3.(B)I2I2I3.(C)I1I3I1,(D)I1I2I3.（5）设1234123400110,1,1,1cccc其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）（A）123,,（B）124,,（C）134,,（D）第2页共17页234,,（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1112PAP，123,,P，1223,,Q则1QAQ（）（A）121（B）112（C）212（D）221（7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则yxp（）1124()()()()5355ABCD（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(21)(21)(1)(DCBA二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）若函数)(xf满足方程0)(2)()('''xfxfxf及xexfxf2)()('，则)(xf=________。（10）2202xxxdx________。（11）(2,1,1)gradzxyy________。（12）设,0,0,0,1,,zyxzyxzyx则dsy2________。（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵TxxE的秩为________。第3页共17页（14）设,,ABC是随机事件，,AC互不相容，1()2PAB,1()3PC,则()PABC________。三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）证明：21lncos1,1112xxxxxx（16）（本题满分10分）求22,2xyfxyxe的极值。（17）（本题满分10分）求幂级数0n244321nnnx2n的收敛域及和函数（18）（本题满分10分）已知曲线，其中函数)(tf具有连续导数，且0)0(f，200)(ttf。若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数)(tf的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积。（19）（本题满分10分）已知L是第一象限中从点0,0沿圆周222xyx到点2,0，再沿圆周224xy到点0,2的曲线段，计算曲线积分22=32LJxydxxxydy。（20）（本题满分10分）第4页共17页设100010001001aaAaa，1100b（Ⅰ）求A（Ⅱ）已知线性方程组Axb有无穷多解，求a，并求Axb的通解。（21）（本题满分10分）三阶矩阵10101110Aa，TA为矩阵A的转置，已知()2TrAA，且二次型TTfxAAx。1）求a2）求二次型对应的二次型矩阵，并将二次型化为标准型，写出正交变换过程。（22）（本题满分10分）已知随机变量,XY以及XY的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：(1)2PXY；(2)cov,XYY与XY.云梯教育，专注考研，更加专业，旗下推出的免费手机应用“口袋题库考研”更是新一代的考研利器，内含免费历年真题及答案解析，科学的复习笔记，更有学长学姐的经验分享，更多功能及资料下载请抓紧时间下载应用或者加入QQ群97240410！（23）（本题满分11分）设随机变量X与Y相互独立且分别服从正态分布2,N与2,2N，其中是未知参数且0,设ZXY,(1)求z的概率密度2,fz；(2)设12,,nzzz为来自总体Z的简单随机样本，求2的最大似然估计量2；(3)证明2为2的无偏估计量。第5页共17页参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）曲线221xxyx渐近线的条数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】：C【解析】：221lim1xxxx，所以1x为垂直的22lim11xxxx，所以1y为水平的，没有斜渐近线故两条选C（2）设函数2()(1)(2)()xxnxfxeeen，其中n为正整数，则'(0)f（A）1(1)(1)!nn（B）(1)(1)!nn（C）1(1)!nn（D）(1)!nn【答案】：C【解析】：'222()(2)()(1)(22)()(1)(2)()xxnxxxnxxxnxfxeeeneeeneenen所以'(0)f1(1)!nn（3）如果(,)fxy在0,0处连续，那么下列命题正确的是（）（A）若极限00(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在(0,0)处可微第6页共17页（B）若极限2200(,)limxyfxyxy存在，则(,)fxy在(0,0)处可微（C）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限00(,)limxyfxyxy存在（D）若(,)fxy在(0,0)处可微，则极限2200(,)limxyfxyxy存在【答案】：【解析】：由于(,)fxy在0,0处连续，可知如果2200(,)limxyfxyxy存在，则必有00(0,0)lim(,)0xyffxy这样，2200(,)limxyfxyxy就可以写成2200(,)(0,0)limxyfxyfxy，也即极限2200(,)(0,0)limxyfxyfxy存在，可知2200(,)(0,0)lim0xyfxyfxy，也即22(,)(0,0)00fxyfxyoxy。由可微的定义可知(,)fxy在(0,0)处可微。（4）设2kxkeIesinxdx(k=1,2,3),则有D（A）I1I2I3.(B)I2I2I3.(C)I1I3I1,(D)I1I2I3.【答案】：(D)【解析】：2sinkxkeIexdx看为以k为自变量的函数，则可知2'sin0,0,kkIekk，即可知2sinkxkeIexdx关于k在0,上为单调增函数，又由于1,2,30,，则123III，故选D（5）设1234123400110,1,1,1cccc其中1234,,,cccc为任意常数，则下列向量组线性相关的是（）第7页共17页（A）123,,（B）124,,（C）134,,（D）234,,【答案】：（C）【解析】：由于134113401111,,011011cccc，可知134,,线性相关。故选（C）（6）设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1112PAP，123,,P，1223,,Q则1QAQ（）（A）121（B）112（C）212（D）221【答案】：（B）【解析】：100110001QP，则11100110001QP，故11100100100110011101101101110100100100120012QAQPAP故选（B）。（7）设随机变量x与y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则yxp（）1124()()()()5355ABCD【答案】：（A）第8页共17页【解析】：,XY的联合概率密度为4,0,0(,)xyexyfxy0，其它则450001(,)5yxyyxyPXYfxydxdydxedxedy（8）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（）1)(21)(21)(1)(DCBA【答案】：()D【解析】：设两段长度分别为,xy，显然1,xy即1yx，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1云梯教育，专注考研，更加专业，旗下推出的免费手机应用“口袋题库考研”更是新一代的考研利器，内含免费历年真题及答案解析，科学的复习笔记，更有学长学姐的经验分享，更多功能及资料下载请抓紧时间下载应用或者加入QQ群97240410！二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）若函数)(xf满足方程0)(2)()('''xfxfxf及xexfxf2)()('，则)(xf=________。【答案】：xe【解析】：特征方程为022rr，特征根为2,121rr，齐次微分方程()()2()0fxfxfx的通解为xxeCeCxf221)(.再由'()()2xfxfxe得21222xxxCeCee，可知121,0CC。故()xfxe（10）2202xxxdx________。【答案】：2【解析】：令1tx得2112220112(1)112xxxdxttdttdt（11）(2,1,1)gradzxyy________。第9页共17页【答案】：1,1,1【解析】：2(2,1,1)(2,1,1)1grad,,1,1,1zzxyyxyyy（12）设,0,0,0,1,,zyxzyxzyx则dsy2________。【答案】：312【解析】：由曲面积分的计算公式可知222221(1)(1)3DDydsydxdyydxdy，其中(,)|0,0,1Dxyxyxy。故原式11122000333(1)12ydyydxyydy（13）设X为三维单位向量，E为三阶单位矩阵，则矩阵TxxE