2016年考研数学一试题及解答

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及解答本文档仅供学习交流之用.试题来源于网络,解答由孟庆鑫提供,个人观点仅供参考.一、选择题：1s8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.若反常积分+101xa(1+x)bdx收敛,则[C](A)a1且b1:(B)a1且b1:(C)a1且a+b1:(D)a1且a+b1:2.已知函数f(x)=8:2(x1);x1;lnx;x⩾1;则f(x)的一个原函数是[D](A)F(x)=8:(x1)2;x1;x(lnx1);x⩾1:(B)F(x)=8:(x1)2;x1;x(lnx+1)1;x⩾1:(C)F(x)=8:(x1)2;x1;x(lnx+1)+1;x⩾1:(D)F(x)=8:(x1)2;x1;x(lnx1)+1;x⩾1:3.若y=(1+x2)2p1+x2;y=(1+x2)2+p1+x2是微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个解,则q(x)=[A](A)3x(1+x2):(B)3x(1+x2):(C)x(1+x2):(D)x(1+x2):4.已知函数f(x)=8:x;x⩽0;1n;1n+1x⩽1n;n=1;2;


;则[D](A)x=0是f(x)的第一类间断点.(B)x=0是f(x)的第二类间断点.(C)f(x)在x=0处连续但不可导.(D)f(x)在x=0处可导.5.设A;B是可逆矩阵,且A与B相似,则下列结论错误的是[C](A)AT与BT相似.(B)A1与B1相似.(C)A+AT与B+BT相似.(D)A+A1与B+B1相似.数学（一）试题及解答
第1页（共7页）6.设二次型f(x1;x2;x3)=x21+x22+x23+4x1x2+4x1x3+4x2x3;则f(x1;x2;x3)=2在空间直角坐标下表示的二次曲面为[B](A)单叶双曲面.(B)双叶双曲面.(C)椭球面.(D)柱面.7.设随机变量XN(;2)(0);记p=PfX⩽+2g;则[B](A)p随着的增加而增加.(B)p随着的增加而增加.(C)p随着的增加而减少.(D)p随着的增加而减少.8.设随机试验E有三种两两不相容的结果A1;A2;A3;且三种结果发生的概率均为13;将试验E独立重复做两次,X表示两次试验中结果A1发生的次数,Y表示两次试验中结果A2发生的次数,则X与Y的相关系数为[A](A)12:(B)13:(C)13:(D)12:二、填空题：9s14小题,每小题4分,共24分.9.limx!0x0tln(1+tsint)dt1cosx2=12:10.向量场A(x;y;z)=(x+y+z)i+xyj+zk的旋度rotA=j+(y1)k:11.设函数f(u;v)可微,z=z(x;y)由方程(x+1)zy2=x2f(xz;y)确定,则dzj(0;1)=dx+2dy:12.设函数f(x)=arctanxx1+ax2;且f′′(0)=1;则a=12:13.行列式100010001432+1=4+3+22+3+4:14.设X1;X2;


;Xn为来自总体N(;2)的简单随机样本,样本均值X=9:5;参数的置信度为0:95的双侧置信区间的置信上限为10:8;则的置信度为0:95的双侧置信区间为(8:2;10:8):三、解答题：15s23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）已知平面区域D={(r;)j2⩽r⩽2(1+cos);2⩽⩽2};计算二重积分Dxdxdy:数学（一）试题及解答
第2页（共7页）解换成极坐标计算,Dxdxdy=22d2(1+cos)2rcos
rdr=1620(cos2+cos3+13cos4)d=16(12
2+23+13
34
12
2)=323+5:16.（本题满分10分）设函数y(x)满足方程y′′+2y′+ky=0;其中0k1:(I)证明:反常积分+10y(x)dx收敛;(II)若y(0)=1;y′(0)=1;求+10y(x)dx的值.(I)证y′′+2y′+ky=0;0k1)y(x)=C1e1x+C2e2x;其中C1;C2是任意常数;10;20是特征方程的两个根)+10y(x)dx收敛.(II)解y(x)=C1e1x+C2e2x;y(0)=1;y′(0)=1)(1112)(C1C2)=(11):+10y(x)dx=+10(C1e1x+C2e2x)dx=(C11+C22)=(1112)(C1C2)=(1112)0@11121A10@111A=1+2112=3k:17.（本题满分10分）设函数f(x;y)满足@f(x;y)@x=(2x+1)e2xy;且f(0;y)=y+1;Lt是从点(0;0)到点(1;t)的光滑曲线,计算曲线积分I(t)=Lt@f(x;y)@xdx+@f(x;y)@ydy;并求I(t)的最小值.解@f(x;y)@x=(2x+1)e2xy;f(0;y)=y+1)f(x;y)=xe2xy+y+1;I(t)=Lt@f(x;y)@xdx+@f(x;y)@ydy=Ltdf(x;y)=f(1;t)f(0;0)=e2t+t:I′(t)=1e2t令=0)t=2:I(t)的最小值为3:数学（一）试题及解答
第3页（共7页）18.（本题满分10分）设有界区域Ω由平面2x+y+2z=2与三个坐标平面围成,为Ω整个表面的外侧,计算曲面积分I=(x2+1)dydz2ydzdx+3zdxdy:解利用Gauss公式有I=(x2+1)dydz2ydzdx+3zdxdy=Ω(@@x(x2+1)@@y(2y)+@@z(3z))dV=Ω(2x+1)dV;注意到dV=(1x)2dx;于是I=10(2x+1)(1x)2dx=12:19.（本题满分10分）已知函数f(x)可导,且f(0)=1;0f′(x)12:设数列fxng满足xn+1=f(xn)(n=1;2;


)证明:(I)级数1∑n=1(xn+1xn)绝对收敛;(II)limn!1xn存在,且0limn!1xn2:(I)证利用中值定理有jxn+1xnj=jf(xn)f(xn1)j=f′(n1)jxnxn1j(n1介于xn;xn1之间)=f′(n1)jf(xn1)f(xn2)j=f′(n1)f′(n2)jxn1xn2j(n2介于xn1;xn2之间)=


=(n1∏i=1f′(i))jx2x1j(i介于xi+1;xi之间)jx2x1j(12)n1(1))级数1∑n=1(xn+1xn)绝对收敛.(II)证F(x)令=f(x)x;F′(x)=f′(x)12(1;12))F(x)严格递减;(2)f(0)=1;0f′(x)12
x0=)1f(x)12x+1(x0))F(1)0;F(2)0)92(1;2);使得F()=0:(3)由(1)式知,当n!1时,xn+1xn!0;即F(xn)!0:结合(2)(3)式知xn!:即limn!1xn2(1;2)(0;2):数学（一）试题及解答
第4页（共7页）20.（本题满分11分）设矩阵A=0B@1112a111a1CA;B=0B@221aa121CA;当a为何值时,方程AX=B无解、有唯一解、有无穷多解？在有解时,求此方程.解(AjB)=0B@1112a111a221aa121CA!0B@1110a+2300a1223a41a01CA当a=2时,方程AX=B无解;当a=1时,方程AX=B有无穷多解,X=0B@33C11C21C1C21CA;8C1;C22R;当a̸=2且a̸=1时,方程AX=B有唯一解,X=0BBBBBBB@13aa+20a4a+2101CCCCCCCA:21.（本题满分11分）已知矩阵A=0B@0112300001CA:(I)求A99;(II)设3阶矩阵B=(1;2;3)满足B2=BA;记B100=(1;2;3);将1;2;3分别表示为1;2;3的线性组合.(I)解jEAj=(+1)(+2);1=2对应的特征向量为(1;2;0)T;2=1对应的特征向量为(1;1;0)T;3=0对应的特征向量为(3;2;2)T:令P=0B@1132120021CA;则有P1AP=0B@2000100001CA令=;A99=(PP1)99=P99P1=0B@2+299129922982+21001210022990001CA:(II)解B2=BA)B100=BA99;即1=(2+299)1+(2+2100)2;1=(1299)1+(12100)2;1=(2298)1+(2299)2:数学（一）试题及解答
第5页（共7页）22.（本题满分11分）设二维随机变量(X;Y)在区域D=f(x;y)j0x1;x2ypxg上服从均匀分布,令U=8:1;X⩽Y;0;XY:(I)写出(X;Y)的概率密度;(II)问U与X是否相互独立？并说明理由;(III)求Z=U+X的分布函数F(z):(I)解f(x;y)=8:1Dd;(x;y)2D;0;其他;=8:3;(x;y)2D;0;其他:(II)解设0a;b1;则PfU⩽a;X⩽bg=PfXY;X⩽bg=32b2b3;PfU⩽ag=PfXYg=12;PfX⩽bg=2b32b3;PfU⩽a;X⩽bg̸=PfU⩽ag
PfX⩽bg;即U与X不独立.(III)解F(z)=PfU+X⩽zg=PfU+X⩽z;U=0g+PfU+X⩽z;U=1g=PfX⩽z;XYg+Pf1+X⩽z;X⩽Yg=8:0;z0;32z2z3;0⩽z1;12;z⩾1+8:0;z1;2(z1)3232(z1)2;1⩽z2;12;z⩾2=8:0;z0;32z2z3;0⩽z1;12+2(z1)3232(z1)2;1⩽z2;1;z⩾2:23.（本题满分11分）设总体X的概率密度为f(x;)=8:3x23;0x;0;其他;其中2(0;+1)为未知参数,X1;X2;X3为来自该总体X的简单随机样本,令T=max(X1;X2;X3):数学（一）试题及解答
第6页（共7页）(I)求T的概率密度;(II)确定a;使得aT为的无偏估计.(I)解FT(t)=PfT⩽tg=Pfmax(X1;X2;X3)⩽tg=(PfX1⩽tg)3即FT(t)=8:0;t0;(t03x23d)3;0⩽z;1;t⩾)fT(t)=8:9t89;0z;0;其他:(II)解EaT=RatfT(t)dt令=)a=109:数学（一）试题及解答
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