一元二次方程中的整体思想(换元法)

一元二次方程中的整体思想（换元法）一、内容概述所谓整体思想就是从问题整体性质出发，发现问题及整体结构的特性，从而导出局部结构和元素的特性，这是中学数学竞赛常用解题思想之一。最具体的代表就是换元法的运用。二、例题解析初中阶段，在各年级的数学代数学习中，时常会碰到换元法。何为换元法呢？解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去替换从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，它可以变高次为低次，化无理为有理。（一）换元法在解方程中的应用我们知道，解分式方程时一般用“去分母”的方法，把分式方程化成整式方程来解；解无理方程一般用“两边乘方”的方法，将无理方程化成有理方程来解。然而我们会碰到这样的困难：利用这些常规的变形方法解题，往往会产生高次方程，解起来相当繁琐，甚至有时难于解得结果，这可怎么办呢？对于某些方程，我们可以用新的未知数来替换原有未知数的某些代数式，把原方程化成一个易解的方程。1.利用倒数关系换元例1解分式方程：224343xxxx分析：此分式方程若两边同时去分母的话，会产生高次方程，比较复杂难解。但是若稍加整理成2243403xxxx，则可利用式子之间的倒数关系换元，这样问题就简单了。解：移项整理得2243403xxxx设23xxy，则原方程可化为440yy去分母得2440yy解得122yy当2y时，232xx解得11x22x经检验：11x22x是原方程的根所以，原方程的根为11x22x练习1解无理方程：1210213xxxx2.利用平方关系进行换元例2解方程：222526xxxx分析：代数式22xx与22xx有平方关系，因此可以这样解解：设22xxy，则原方程可化为256yy解得16y，21y当6y时，226xx解得14x292x当1y时，221xx，此方程无实数根经检验：14x292x是原方程的根所以，原方程的根为14x292x练习2解方程：22265315xxxx分析：如果这个方程两边平方，那么就会得到一个一元四次方程，但本题的2x项与x的一次项，系数分别成比例，利用换元法可化成一个一元二次方程3.利用对称关系换元例3解方程组：2222352616xyxyxxyy分析：将第二个方程左边分解因式可得22316xyxy，如果设2xya，23xyb，那么原方程组可化为简单的对称方程组22516abab4.均值换元例4分解因式2274784xxxx分析：初步观察此代数式，似乎很难很快找到因式分解的方法，但仔细琢磨，发现两个二次三项式很“相似”，不妨可以设276xxa，解题步骤如下：解：设276xxa，则原式=222222247616aaaxxxx当然换元法在因式分解中还有其它的应用，比方说局部换元、和积换元、和差换元等。5.整体代入据已知字母的值，先求其一中间代数式的值，再将该代数式的值，整体代入式中求值。例5已知31x，那么2232421xxxx解：因为31x，2213x，所以222xx因此，原式=2232232212121xxxx习题部分1.换元法解方程：22114xxxx2.因式分解：22327121xxxx3.解分式方程组：518122312122xyyxxyxy4.解无理方程：222526xxxx5.已知四个连续的整数为,1,2,3mmmm，试说明这四个整数的积加上1，是完全平方数6.已知214bcabca，且0a，求bca的值7.甲、乙、丙三种货物，购买甲3件，乙7件，丙1件，需要3.15元；购买甲4件，乙10件，丙1件，需要4.20元；现各购买1件，需要多少元？