2015年考研数学真题答案(数一-)

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一12015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设函数()fx在（-,+）连续，其2阶导函数()fx的图形如下图所示，则曲线()yfx的拐点个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】(C)【考点】拐点的定义【难易度】★★【详解】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点上，并且在这点的左右两侧二阶导数异号，因此，由()fx的图形可知，曲线()yfx存在两个拐点，故选(C).2、设21123xxyexe是二阶常系数非齐次线性微分方程xyaybyce的一个特解，则（）（A）3,1,1.abc（B）3,2,1.abc（C）3,2,1.abc（D）3,2,1.abc【答案】(A)【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法【难易度】★★【详解】211,23xxee为齐次方程的解，所以2、1为特征方程2+0ab的根，从而123,122,ab再将特解xyxe代入方程32xyyyce得：1.c2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一23、若级数1nna条件收敛，则3x与3x依次为幂级数11nnnnax的：（A）收敛点，收敛点（B）收敛点，发散点（C）发散点，收敛点（D）发散点，发散点【答案】(B)【考点】级数的敛散性【难易度】★★★【详解】因为1nna条件收敛，故2x为幂级数11nnnax的条件收敛点，进而得11nnnax的收敛半径为1，收敛区间为0,2，又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间，故11nnnnax的收敛区间仍为0,2，因而3x与3x依次为幂级数11nnnnax的收敛点、发散点.4、设D是第一象限中曲线21,41xyxy与直线,3yxyx围成的平面区域，函数(,)fxy在D上连续，则(,)Dfxydxdy（A）12sin2142sin2(cos,sin)dfrrrdr（B）1sin22142sin2(cos,sin)dfrrrdr（C）13sin2142sin2(cos,sin)dfrrdr（D）1sin23142sin2(cos,sin)dfrrdr【答案】(D)【考点】二重积分的极坐标变换【难易度】★★★【详解】由yx得，4；由3yx得，3由21xy得，212cossin1,sin2rr由41xy得，214cossin1,2sin2rr2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一3所以1sin23142sin2(,)(cos,sin)Dfxydxdydfrrrdr5、设矩阵21111214Aaa，21bdd，若集合{1,2}，则线性方程组Axb有无穷多个解的充分必要条件为（A）,ad（B）,ad（C）,ad（D）,ad【答案】(D)【考点】非齐次线性方程组的解法【难易度】★★【详解】2211111111,12011114001212AbadadadaaddAxb有无穷多解()(,)3RARAb1a或2a且1d或2d6、设二次型123(,,)fxxx在正交变换xPy下的标准形为2221232yyy，其中123(,,)Peee，若132(,,)Qeee，则123(,,)fxxx在正交变换xQy下的标准形为（A）2221232yyy（B）2221232yyy（C）2221232yyy（D）2221232yyy【答案】(A)【考点】二次型【难易度】★★【详解】由xPy，故222123()2TTTfxAxyPAPyyyy且：200010001TPAP2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一4100200001,()010010001TTTQPPCQAQCPAPC所以222123()2TTTfxAxyQAAyyyy，故选(A)7、若,AB为任意两个随机事件，则（A）()()()PABPAPB（B）()()()PABPAPB（C）()()()2PAPBPAB（D）()()()2PAPBPAB【答案】(C)【考点】【难易度】★★【详解】)()(),()(ABPBPABPAP)(2)()(ABPBPAP()()()2PAPBPAB故选（C）8、设随机变量X,Y不相关，且2,1,3,EXEYDX则2EXXY（A）-3（B）3（C）-5（D）5【答案】(D)【考点】【难易度】★★★【详解】22222225EXXYEXXYXEXEXYEXDXEXEXEYEX二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9、20lncoslimxxx【答案】12【考点】极限的计算2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一5【难易度】★★【详解】2222200001lncosln(1cos1)cos112limlimlimlim2xxxxxxxxxxxx10、2-2sin()1cosxxdxx【答案】24【考点】积分的计算【难易度】★★【详解】2220-2sin()21cos4xxdxxdxx11、若函数(,)zzxy由方程+cos2zexyzxx确定，则(0,1)dz.【答案】【考点】隐函数求导【难易度】★★【详解】令(,,)cos2zFxyzexyzxx，则1sinxFyzx，yFxz，zFxy，又当0,1xy时，0z，所以(0,1)1xzFzxF，(0,1)0yzFzyF，因而(0,1)dzdx12、设是由平面1xyz与三个坐标平面所围成的空间区域，则(23)xyzdxdydz【答案】14【考点】三重积分的计算【难易度】★★★【详解】由轮换对称性，得x+2y+3z()dxdydzWòòò=6zdxdydzWòòò=6zdz01òdxdyDzòò2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一6其中Dz为平面z=z截空间区域W所得的截面，其面积为121-z()2.所以x+2y+3z()dxdydzWòòò=6zdxdydzWòòò=6z×121-z()2dz=01ò3z3-2z2+z()dz=01ò1413、n阶行列式2002-1202002200-12【答案】122n【考点】行列式的计算【难易度】★★★【详解】按第一行展开得=2n+1-214、设二维随机变量(,)XY服从正态分布(1,0,1,1,0)N，则(0)PXYY.【答案】12【考点】【难易度】★★【详解】(,)~(1,0,1,1,0)XYN，~(1,1),~(0,1),XNYN且,XY独立1~(0,1)XN，0(1)0PXYYPXY10,0100PXYPXY，11111222222015年全国硕士研究生入学统一考试数学一7三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）设函数()ln(1)sinfxxaxbxx，3()gxkx，若()fx与()gx在0x是等价无穷小，求a，b，k值。【考点】等价无穷小量，极限的计算【难易度】★★★【详解】()ln(1)sinfxxaxbxx23333233!xxxxaxxbxxx233123aaaxbxxx3()()fxgxkx与是等价无穷小1+011022133aaabbakk16、（本题满分10分）设函数在()fx定义域I上的导数大于零，若对任意的0xI，曲线()yfx在点00(,())xfx处的切线与直线0xx及x轴所围成的区域的面积为4，且(0)2f，求()fx的表达式.【考点】微分方程【难易度】★★★【详解】如下图：2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一80xx处的切线方程为l：000()()()yfxxxfxl与x轴的交点为：0y时，000()()fxxxfx，则000()()fxABxxfx，因此，000011()()()422()fxSABfxfxfx.即满足微分方程：218yy，解得：118xcy.又因(0)2y，所以12c，故84yx.17、（本题满分10分）已知函数xyyxyxf),(，曲线3:22xyyxC，求),(yxf在曲线C上的最大方向导数.【考点】方向导数，条件极值【难易度】★★★【详解】根据方向导数与梯度的关系可知，方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.，故xyyxgradf1,1),(故),(yxf在曲线C上的最大方向导数为22)1(1xy，其中yx,满足322xyyx，即就求函数22)1()1(xyz在约束条件0322xyyx下的最值.构造拉格朗日函数),,(yxF)3()1()1(2222xyyxxy2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一9令0302)1(202)1(222xyyxFxyyyFyxxxF可得)1,1(),1,1()2,1(),2,2(,其中)2,1(9)1,2(,0)1,1(,4)1,1(zzzz综上根据题意可知),(yxf在曲线C上的最大方向导数为3.18、（本题满分10分）(Ⅰ)设函数(),()uxvx可导，利用导数定义证明[()()]'='()()()()'uxvxuxvxuxvx(Ⅱ)设函数12(),()...()nuxuxux可导，12()()()...(),nfxuxuxux写出()fx的求导公式.【考点】导数定义【难易度】★★【详解】'00''()lim()()()lim()()xxuxxvxxuxvxuxvxxuxxuxvxxuxvxxvxxuxvxuxvx''12''1212''12123'''121212()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()nnnnnnnnfxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxuxu()x19、（本题满分10分）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一10已知曲线L的方程为222,,zxyzx起点为(0,2,0)A，终点为(0,2,0)B，计算曲线积分2222()()()LIyzdxzxydyxydz【考点】曲线积分的计算【难易度】★★★【详解】曲线L的参数方程为cos,2si