专题-新定义数列问题

新定义数列问题数列的新定义问题成为最近几年高考的热点，主要是题目的条件或结论上给出新的方式或者用其他语言(如集合、向量)来描述，增加了题目理解的难度．例1设数列{an}的首项为1，前n项和为Sn，若对任意的n∈N*，均有Sn＝an＋k－k(k是常数且k∈N*)成立，则称数列{an}为“P(k)数列”．(1)若数列{an}为“P(1)数列”，求数列{an}的通项公式；(2)是否存在数列{an}既是“P(k)数列”，也是“P(k＋2)数列”？若存在，求出符合条件的数列{an}的通项公式及对应的k的值；若不存在，请说明理由；例2对于数列{an}，定义：bn(k)＝an＋an＋k，其中n，k∈N*.(1)若bn(2)－bn(1)＝1，n∈N*，求bn(4)－bn(1)的值；(2)若a1＝2，且对任意的n，k∈N*，都有bn＋1(k)＝2bn(k)．①求数列{an}的通项公式；②设k为给定的正整数，记集合A＝{bn(k)|n∈N*}，B＝{5bn(k＋2)|n∈N*},求证：A∩B＝∅.【思维变式题组训练】1.若数列{an}中不超过f(m)的项数恰为bm(m∈N*)，则称数列{bm}是数列{an}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{an}生成{bm}的控制函数．(1)已知an＝n2，且f(m)＝m2，写出b1，b2，b3；(2)已知an＝2n，且f(m)＝m，求{bm}的前m项和Sm；2.若存在常数k(k∈N*，k≥2)，q，d，使得无穷数列{an}满足an＋1＝an＋d，nk∉N*，qan，nk∈N*，则称数列{an}为“段比差数列”，其中常数k，q，d分别叫作段长、段比、段差．设数列{bn}为“段比差数列”．(1)若{bn}的首项、段长、段比、段差分别为1,3，q,3.①当q＝0时，求b2016；②当q＝1时，设{bn}的前3n项和为S3n，若不等式S3n≤λ·3n－1对n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围；(2)设{bn}为等比数列，且首项为b，试写出所有满足条件的{bn}，并说明理由．新定义数列问题1.若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．(1)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1.①求{an}的通项公式；②试判断{an}是否为“等比源数列”，并证明你的结论；(2)已知数列{an}为等差数列，且a1≠0，an∈Z(n∈N*)．求证：{an}为“等比源数列”．2.数列{an}的各项均为正数．若对任意的n∈N*，存在k∈N*，使得a2n＋k＝anan＋2k成立，则称数列{an}为“Jk型”数列．(1)若数列{an}是“J2型”数列，且a2＝8，a8＝1，求a2n；(2)若数列{an}既是“J3型”数列，又是“J4型”数列，证明：数列{an}是等比数列．3.设数列{an}的前n项和为Sn.若12≤an＋1an≤2(n∈N*)，则称{an}是“紧密数列”．(1)若数列{an}的前n项和Sn＝14(n2＋3n)(n∈N*)，证明：{an}是“紧密数列”；(2)设数列{an}是公比为q的等比数列．若数列{an}与{Sn}都是“紧密数列”，求q的取值范围．4.若数列{bn}满足：对于n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列．(1)若cn＝4n－1，当n为奇数时，4n＋9，当n为偶数时.求准等差数列{cn}的公差，并求{cn}的前19项的和T19；(2)设数列{an}满足a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.①求证：{an}为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{an}的前n项和为Sn，试探究：是否存在实数a，使得数列{Sn}有连续的两项都等于50.若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．