2018版高考数学(理)(人教)大一轮复习讲义第十二章概率随机变量及其分布12.6

§12.6离散型随机变量的均值与方差、正态分布基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.离散型随机变量的均值与方差知识梳理一般地，若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值称E(X)＝为随机变量X的均值或.它反映了离散型随机变量取值的.x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平数学期望(2)方差称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的，并称其算术平方根为随机变量X的.∑ni＝1(xi－E(X))2pi平均偏离程度标准差DX(1)E(aX＋b)＝.(2)D(aX＋b)＝.(a，b为常数)2.均值与方差的性质aE(X)＋ba2D(X)(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝，D(X)＝.(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝，D(X)＝.3.两点分布与二项分布的均值、方差pp(1－p)npnp(1－p)(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ0，μ∈R).我们称函数φμ，σ(x)的图象为，简称正态曲线.4.正态分布正态分布密度曲线222()1e2πxu(2)正态曲线的性质①曲线位于x轴，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线对称；③曲线在处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.上方x＝μx＝μ1μ越小越大1σ2π(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量X满足P(aX≤b)＝，则称随机变量X服从正态分布，记作.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σX≤μ＋σ)＝；②P(μ－2σX≤μ＋2σ)＝；③P(μ－3σX≤μ＋3σ)＝.ʃbaφμ，σ(x)dxX～N(μ，σ2)0.68260.95440.9974判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差.()(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布.()(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关.()思考辨析√√√√×考点自测1.(教材改编)某射手射击所得环数ξ的分布列如下：答案解析由x＋0.1＋0.3＋y＝1，7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝8.9，ξ78910Px0.10.3y已知ξ的均值E(ξ)＝8.9，则y的值为A.0.4B.0.6C.0.7D.0.9可得y＝0.4.答案解析E(ξ)＝15(2＋4＋6＋8＋10)＝6，2.设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝2,4,6,8,10)，则D(ξ)等于15A.8B.5C.10D.12D(ξ)＝15[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.3.已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则随机变量η的均值E(η)及方差D(η)分别是答案解析D(X)＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.6设随机变量X的均值及方差分别为E(X)，D(X)，因为X～B(10,0.6)，所以E(X)＝10×0.6＝6，故E(η)＝E(8－X)＝8－E(X)＝2，D(η)＝D(8－X)＝D(X)＝2.4.4.设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为________.答案解析所以y1，y2，…，y10的均值为1＋a，方差不变仍为4.1＋a,4x1＋x2＋…＋x1010＝1，yi＝xi＋a，5.某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________.答案解析由题意知，P(ξ110)＝1－2P90≤ξ≤1002＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.10题型分类深度剖析题型一离散型随机变量的均值、方差命题点1求离散型随机变量的均值、方差例1(2016·山东)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；解答3423(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和均值E(Χ).解答命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值例2设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；解答(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)＝53，D(η)＝59，求a∶b∶c.解答离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.思维升华跟踪训练1(2015·四川)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；解答(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和均值.解答题型二均值与方差在决策中的应用例3(2016·全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.解答(1)求X的分布列；(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；解答由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.(3)以购买易损零件所需费用的均值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？解答记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4040；当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4080.可知当n＝19时所需费用的均值小于n＝20时所需费用的均值，故应选n＝19.随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.思维升华跟踪训练2某投资公司在2016年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.解答79和29和11535，13题型三正态分布的应用例4(1)(2015·湖北)设X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是σ21σ22A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C.对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t)D.对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)答案解析(2)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：①求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；x解答②由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2.(ⅰ)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；解答x由①知，Z～N(200,150)，从而P(187.8Z212.2)＝P(200－12.2Z200＋12.2)＝0.6826.(ⅱ)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用(ⅰ)的结果，求E(X).附：≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σZμ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σZμ＋2σ)＝0.9544.解答150由(ⅰ)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.思维升华跟踪训练3(2015·山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为(附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σξμ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.)A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案解析典例(12分)(2016·湖北六校联考)在2016年全国高校自主招生考试中，某高校设计了一个面试考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立回答全部问题.规定：至少正确回答其中2题的便可通过.已知6道备选题中考生甲有4题能正确回答，2题不能回答；考生乙每题正确回答的概率都为，且每题正确回答与否互不影响.(1)分别写出甲、乙两考生正确回答题数的分布列，并计算其均值；(2)试用统计知识分析比较两考生的通过能力.离散型随机变量的均值与方差问题答题模板系列8规范解答答题模板23课时作业1.(2016·郑州一模)某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5