极坐标系的概念-点的极坐标与直角坐标的互化

-1-§2极坐标系-2-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化-3-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.通过回顾平面直角坐标系,体会借助坐标系研究曲线和方程的关系.2.了解曲线和方程的对应关系,了解两条曲线交点的求法.3.能利用已知条件求出曲线方程.-4-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航121.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立.在平面内取一个定点O,叫作极点,从点O引一条射线Ox,叫作极轴,选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系.(2)点的极坐标的规定.①如图所示,对于平面内任意一点M,用ρ表示线段OM的长,θ表示以Ox为始边、OM为终边的角,ρ叫作点M的极径,θ叫作点M的极角,有序实数对(ρ,θ)叫作点M的极坐标,记作M(ρ,θ).-5-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12当点M在极点时,它的极径ρ=0,极角θ可以取任意值.②为了研究问题方便,极径ρ也允许取负值.当ρ0时,点M(ρ,θ)的位置可以按下列规则确定:作射线OP,使∠xOP=θ,在OP的反向延长线上取一点M,使|OM|=|ρ|,这样点M的坐标就是(ρ,θ),如图所示:-6-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做1-1】在极坐标系中,与点3,π6重合的点是().A.3,13π6B.3,-π6C.3,17π6D.3,-5π6解析:当k∈Z时,(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示同一个点.因为13π6=π6+2π,所以点3,π6与3,13π6表示同一个点,即重合.答案:A【做一做1-2】在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是().A.(ρ,θ)B.(ρ,-θ)C.(ρ,θ+π)D.(ρ,π-θ)解析:点(ρ,θ)对应的极径为ρ,极角为θ,θ关于极轴对称的角为-θ,故所求的点为(ρ,-θ).答案:B-7-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航122.点的极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件.如图所示,建立一个平面直角坐标系,把平面直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,建立极坐标系,并且两种坐标系中取相同的单位长度.-8-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12(2)互化公式.如上图所示,设M是平面内的任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ).如果限定ρ取正值,θ∈[0,2π),那么除原点外,平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的.①点M的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x,y)的关系式是𝑥=ρcos𝜃,𝑦=ρsin𝜃.②点M的直角坐标(x,y)化为极坐标(ρ,θ)的关系式是𝜌2=𝑥2+𝑦2,tan𝜃=𝑦𝑥(x≠0).名师点拨在一般情况下,由tanθ的值确定角θ时,可以根据点M所在象限取最小正角.-9-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-1】已知点M的极坐标为5,2π3,则它的直角坐标是.解析:因为x=5cos2π3=-52,y=5sin2π3=532.所以点M的直角坐标为-52,532.答案:-52,532【做一做2-2】已知点A的极坐标为-2,-π3,则它的直角坐标是.解析:因为点A的极坐标又可以写成2,2π3,所以x=ρcosθ=2cos2π3=2×-12=-1,y=ρsinθ=2sin2π3=2×32=3.故点A的直角坐标为(-1,3).答案:(-1,3)-10-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航12【做一做2-3】点P的直角坐标为(6,2),化成极径是正值,极角在0到2π之间的极坐标为.解析:ρ=(6)2+(2)2=22,tanθ=26=33.又点P在第一象限,得θ=π6,所以点P的极坐标是22,π6.答案:22,π6-11-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.建立极坐标系需要的要素剖析:建立极坐标系的要素是(1)极点;(2)极轴;(3)单位长度;(4)角度单位和它的正方向,四者缺一不可.极轴是以极点为端点的一条射线,它与极轴所在的直线是有区别的;极角θ的始边是极轴,它的终边随着θ的大小和正负而取各个位置;θ的正方向通常取逆时针方向,θ的值一般是以弧度为单位的实数.2.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况剖析:(1)给定点(ρ,θ),就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M;(2)给定平面上一点M,却有无数个极坐标与之对应,原因在于极角有无数个.-12-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型一极坐标系中点的表示【例1】已知点M的极坐标为5,π3,下列给出的四个坐标中与点M的坐标重合的是().A.5,-π3B.5,4π3C.5,-2π3D.5,-5π3解析:与点M重合的极坐标可以表示为5,2𝑘π+π3(k∈Z),即极径相等,极角相差2π的整数倍.根据选项,当k=-1时,2kπ+π3=-2π+π3=-5π3,即5,-5π3也表示点M.答案:D反思在极坐标系中,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别注意,极点O的坐标为(0,θ)(其中θ可以取任意值).这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同,极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示.-13-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】在极坐标系中,画出点A1,π4,B2,3π2,C3,-π4,D4,9π4.解:先作出极角,再在极角的终边上取|OP|=ρ即可.在极坐标系中先作出π4线,再在π4线上截取|OA|=1,这样可得到点A1,π4.同样可作出点B2,3π2,C3,-π4,D4,9π4,如图所示.-14-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型二对称性问题【例2】在极坐标系中,点A的极坐标为3,π6.(限定ρ0,0≤θ2π)(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是;(2)点A关于极点对称的点的极坐标是;(3)点A关于过极点且垂直于极轴的直线对称的点的极坐标是.答案:(1)3,11π6(2)3,7π6(3)3,5π6反思在极坐标系中,点(ρ,θ)关于极轴所在直线对称的点的极坐标为(ρ,2kπ-θ)(k∈Z),关于过极点且垂直于极轴的直线θ=π2对称的点的极坐标为(ρ,2kπ+π-θ)(k∈Z),关于极点对称的点的极坐标为(ρ,θ+π+2kπ)(k∈Z).-15-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】已知极坐标系中(限定ρ0,0≤θ2π),若P3,π2,A2,3π4,则点A关于射线OP的对称点的极坐标为.解析:如图所示,因为|OA'|=|OA|=2,∠POA'=3π4-π2=π4,所以∠xOA'=π4,即点A关于射线OP的对称点的极坐标为2,π4.答案:2,π4-16-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型三点的极坐标与直角坐标的互化【例3】(1)把点M的极坐标8,2π3化成直角坐标;(2)把点P的直角坐标(6,-2)化成极坐标(ρ0,0≤θ2π).分析:本题考查的是直角坐标与极坐标的互化公式的应用.解:(1)因为x=8cos2π3=-4,y=8sin2π3=43,所以点M的直角坐标是(-4,43).(2)ρ=(6)2+(-2)2=22,tanθ=-26=-33.因为点P在第四象限,所以θ=11π6.故点P的极坐标为22,11π6.反思由直角坐标化成极坐标时,算出tanθ=-33,仅根据0≤θ2π,只能得出θ=5π6或θ=11π6,要确定极角,需再根据点所在的象限来判断.-17-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练3】(1)直角坐标为(-π,π)的点的极坐标为(限定ρ0,0≤θ2π).(2)已知点M的极坐标为(5,θ),且tanθ=-43,π2θπ,则点M的直角坐标为.解析:(1)∵ρ=(-π)2+π2=2π,tanθ=-1,当0≤θ2π时,θ=3π4或7π4,又(-π,π)在第二象限,∴θ=3π4.故所求点的极坐标为2π,3π4.(2)∵tanθ=-43,π2θπ,∴cosθ=-35,sinθ=45,∴x=5cosθ=-3,y=5sinθ=4,∴点M的直角坐标为(-3,4).答案:(1)2π,3π4(2)(-3,4)-18-2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJUJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航123451在极坐标系中与点A3,-π3关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是().A.3,2π3B.3,π3C.3,4π3D.3,5π6解析:极坐标系中的点(ρ,θ)关于极轴所在直线的对称点的极