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中国和希腊的神话故事是最早出现“混沌”一词的，从此之后随着人类文明的进步，文化和科技的发展，中外的文学、艺术、宗教典籍和科学著作早已不断采用“混沌”一词。“混沌”的英文翻译为“chaos”。到了近代，特别是近几十年，混沌”一词在各类报刊文章、文献中出现的频率极高。很多学者认为二十世纪继相对论、量子力学之后的又一次物理学革命就数混沌学了。法国伟大的数学、物理学家庞加莱（H.Poincare）是研究混沌的第一人,他在研究太阳系的稳定问题时，猜想能否用数学来证明，从而发现了即使只有三个星体的模型，还是能够产生明显的随机结果。于是，庞加莱在1903年提出了庞加莱猜想。庞加莱把拓扑学和动力系统有机地结合，并提出了三体问题在一定范围内，其解是随机的。到1954，前苏联的概率论大师柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）发表的《哈密顿（Hamilton）函数中微小变化时条件周期运动的保持》一文成为了KAM定理的雏形。到了1963年,柯尔莫哥洛夫的学生，年轻的、具有超群才华的V.I.Arnold对此给出了严格的数学证明,基本上在同一时间,瑞士数学家J.Moser对此给出了改进表述,并独立地作出了数学证明。此文的思想为混沌未发生之初，在保守系统中如何出现混沌提供了信息。这也为早期明确不仅好散系统有混沌，而且保守系统也有混沌的理论铺平了道路。1963年，美国的气象学家、物理学家E.N.Lorenz，对描述大气对流模型的一个完全确定的三阶常微分方程组进行数值仿真时，发现在某些条件下可以出现非周期的无规则行为。这一结果解释了长期天气预报为什么始终没有获得成功的原因，其根本原因为有一种混沌运动存在于确定非线性动力系统中。E.N.Lorenz不仅发觉了第一个奇怪吸引子——Lorenz吸引子，而且还揭示了混沌运动的其他一些基本特征。这个三阶常微分方程组即著名的洛仑兹系统方程组：（1963年，美国气象学家E.N.Lorenz发表了著名的论文《确定性非周期流》，他在论文中指出：在三阶非线性自治系统中可能出现非周期的无规则行为。他对天气预报进行一种极端的简化，得到大气在温度梯度作用下的自然对流系统，即著名的洛仑兹系统：）这是一个三阶常微分方程组。其中三个参数为如果取参数改变参数：若，其解的性质趋于无对流式的稳态；若，其解为非周期的看起来很混乱；这就是在耗散系统中，一个确定的微分方程却可能有混沌解的第一个实例。到了2000年，“TheLorenzAttractorExists”一文首次从数学上证明了Lorenz吸引子在自然界存在。在这里要指出的是：KAM定理研究的是保守系统，而洛仑兹方程研究的是耗散系统，它们分别从不同角度说明，两种不同类型的动力系统，在长期的演化过程中是怎样出现混沌状态的。1964年，法国天文学家伊侬（Henon）通过对球状星团的研究得到启发，提出了如下的Henon映射固定参数，改变参数时，发觉其系统的运动轨迹道在相空间中分布似乎越来越随机。伊侬得到了一个最为简单的吸引子，并用它建立了“热引力崩塌”理论，解释了几个世纪以来一直遗留的太阳系稳定问题。1971年法国数学家、物理学家D.Ruelle与荷兰学者F.Takens联名发表了著名论文《论湍流的本质》，在学术界第一个提出了用混沌来描述湍流形成机理的不正确性。他们通过严格的数学分析，独立地发现了动力系统存在一套特别复杂的新型吸引子，描述了他的几何特征，证明与这种吸引子有关的运动即为混沌，发现了第一条通向混沌的道路，并把这类新型吸引子命名为混沌吸引子。1975年,美籍华人李天岩和他的导师美国数学家约克（J.Yorke）在美国《数学月刊》上联名发表了一篇名为《周期3蕴含混沌》的论文，该论文在当时震动整个学术界，该论文是一个关于混沌的数学定理。基本思想是Yorke受Lorenz1963年的论文启发而得,李天岩作出了具体证明,这就是著名的L-iYorke定理。此定理描述了混沌的数学特征,为以后一系列的研究开辟了方向。L-iYorke还率先引入了“混沌(Chaos)一词,为这一新兴研究领域确立了一个中心概念,为各学科研究混沌现象树起了一面统一的旗帜。1976年美国数学生态学家梅（R.May）把名为《具有复杂动力学过程的简单数学模型》的论文发表在美国《自然》杂志上，以单峰映射为对象，重点讨论了Logistic方程：1(1)nnnxuxx对方程的动力学特征和混沌区的精细结构分别进行了系统的分析和考察，同时也绘制了分叉轮廓图，汇集了周期窗口、敏感函数、树枝分叉、切分叉、基本动力学、不动点谐波等混沌词汇，促进了不同领域的混沌学研究联成一体。1978至1979年美国物理学家费根鲍姆（M.J.Feigenbaum）通过对梅的论文研究，独立地发现倍周期分岔过程中分岔间距的几何收敛性，同时发现收敛速率每次缩小4.6692……常数倍，这就是著名的Feigenbaum常数。Feigenbaum还在通过混沌研究中引入了相变临界态理论的普适性、标度性和重正化群方法，计算出了一组新的普适常数，建立了关于一维混沌映射的普适理论，发现了怎样作尺度变换，给出了一条走向混沌的具体道路,把混沌学研究从定性分析推进到了定量计算的阶段,成了混沌学研究的一个重要里程碑。20世纪80年代以来，学者们把混沌研究的重点放在了动力系统如何从有序状态进入新的混沌状态，以及混沌的性质和特征。除此之外，还运用了多标度分形理论和符号动力学。同时，还对混沌结构进一步研究和理论上的总结。世界上的第一张Mandelbrot集的混沌图像由法国数学家曼德布洛特（Mandelbrot）于1980年用计算机绘出。Takens、Packard、Farmer等人在20世纪80年代初根据Whitney拓扑嵌入定理提出了重构动力学轨道相空间的延迟法。Grassberger、Procaccia首次运用这种相空间重构法，从实验数据时间序列计算出实验系统的奇怪吸引子的统计特征，如分维数、Lyapunvov指数和Kolmogorov熵等混沌特征量，从而使得混沌理论进入了实际应用阶段。1984年，我国科学家郝柏林编撰的名为《混沌》一书在新加坡出版，这为混沌科学的发展起到了一定的推动作用。1986年，在桂林召开中国第一届混沌会议。我国科学家徐京华提出了三种神经细胞的复合网络，并且证明它存在混沌窃得到了与人脑脑电图相似的输出。1988年郝柏林和丁明洲通过对洛仑兹模型周期窗口进行系统的研究，得到了与反对称三次映射的关系。1989年郝柏林和郑伟谋在《现代物理国际杂志》上发表文章，抛弃了人工造作的“反谐波”和“谐波”概念，推广了星号组合率。这可以说是混沌理论近年来的重要进步。1989年，卢侃、卢火、林雅谷在人脑脑电图的分维数上找到了与脑功能锻炼历史时间的回归方程，即林雅谷功能方程式。这为混沌维数找出了可行的方式。1994年谢法根和郝柏林在《Physica》A202卷上发表论文，完全解决了具有多个临界点的一维连续映射的周期数目问题。对于某些具备有限个断裂点的映射，周期数目也已清楚，而且绝大多数周期轨道都是不稳定的。现在混沌研究已发展成为一个具有明确的研究对象和基本课题、独特的概念体系和方法论框架的学科。随着相关理论的不断完善，有关混沌的研究也更加深入。混沌研究已发展成为一个具有明确的研究对象和基本课题、独特的概念体系和方法框架的新学科,与几乎所有的自然学科交叉,并向工程领域和社会经济领域渗透,形成蓬勃发展的态势并具有普适应性的发现及整理了群理论的应用，把混沌研究从定性分析推进到定量计算的阶段。天体力学过程中,发现了混沌现象。他以太阳系的三体运动为背景，证明了周期轨道的存在。在详细研究周期轨道附近流的结构时,发现在所谓双曲点附近存在着无限复杂精细的“栅栏结构”。他发现了三体引力相互作用能产生惊人的复杂行为,确定性动力学方程的某些解有不可预见性,这就是人们现在所说的动力学混沌现象。当H.Poincare意识到当时数学水平不足以解决天体力学的复杂问题时,就着力于发展新的数学工具。他和Lyapunov奠定了微分方程定性理论的基础,为现代动力系统理论贡献了一系列重要的概念,如动力系统、奇异点、极限环、稳定性、分叉、同宿、异宿等。他还提供了许多有效的方法和工具,如小参数展开法、摄动方法、H.Poincare截面法等。他所创立的组合拓扑学是当今研究混沌学必不可少的工具,现代动力系统理论的几个重要组成部分,如稳定性理论、分叉理论、奇异性理论和吸引子理论等,都源于H.Poincare的早期研究。此外,还有回复定理、遍历理论、概率思想等。这一系列的数学成就对以后混沌学的建立有着广泛而深刻的影响。在H.Poincare之后,一大批数学家和物理学家所做的出色工作为混沌学的建立提供了宝贵的知识积累。特别是G.D.Birkhoff于1917年至1932年间在动力学系统研究中发表了一系列论著,他在Hamilton微分方程组的正则型求解及不变环面的残存等问题上、在对不可积系统的轨道特征、对遍历理论方面都有重要的贡献。他在研究有耗散的平面环的扭曲映射时,发现了一种极其复杂的“奇异曲线”,这实际上就是混沌中的一种奇怪吸引子。早期混沌研究的一个重要阶段是把H.Poincare的拓扑动力学思想推广应用于耗散系统。最早的工作进展是在电工学领域。1918年,G.Duffing对具有非线性恢复力项的受迫振动系统进行了深入研究,提示出许多非线性振动的奇妙现象,建立了标准化的动力学方程——Duffing方程。1927年,荷兰物理学家B.Vanderpol在研究三相复振荡器时,建立了著名的Vanderpol方程。早期混沌探索的另一个突出成果是在生态领域,经过数代人的努力,提炼了Logistic方程:1(1)nnnxuxx这就是描述生物种群系统演化的典型模型,常称为虫口模型。到二十世纪五六十年代,混沌理论的研究发生了生了两个重大突破。第一个重大突破发生在以保守系统为研究对象的天体力学领域,KAM定理被公认为是创建混沌学理论的历史性标记。前苏联概率论大师A.N.Kolmogorov是超越同时代人的佼佼者,他以5概率论的基本概念6、5概率论的解析方法6等名著奠定了现代概率论的基础;他建立了现代拓扑学主要分支的上同调理论,掌握了对混沌学研究极具重要价值的拓扑学方法;在湍流研究中提出了著名的Kolmogorov三分之二定理;在遍历理论方面引入了测度熵概念,成功地解决了流的同构问题;在复杂性问题的探索中,把复杂性和随机性概念在算法理论的基础上统一了起来。故他具备了突破描述保守系统复杂性行为所必需的一切必要的知识基础。他研究了解析Hamilton系统的椭圆周期轨道的分类,发现了一类充分接近可积Hamilton系统的不可积系统,对此系统若把不可积当作可积Hamilton函数的扰动来处理,则在小扰动条件下,系统运动图像与可积系统基本一致;扰动足够大时,系统图像就发生性质改变,成了混沌系统。该发现为如下结论奠定了理论基础,即不仅耗散系统有混沌,保守系统也有混沌。1963年,Kolmogorov的学生V.I.Arnold对此作了严格的数学证明,差不多在同一时间,瑞士数学家J.Moser对此给出了改进表述,并独立地作出了数学证明。KAM定理就是以他们三人名字的首位字母命名的,这是一个多世纪以来人们用微扰方法处理不可积系统所取得的成功的结果。KAM定理被国际混沌学界公认为这一新学科的第一个开端。混沌学研究的第二个重大突破发生在遍布于现实世界的耗散系统。对此作出杰出贡献的学者是美国气象学家E.N.Lorenz。1962年,B.Saltzman通过简化流体对流模型得到了一完全确定的三阶常微分方程组。当时,Lorenz把它作为大气对流模型,用计算机作数值计算,观察这个系统的演化行为。在计算观察中,确实看到了这个确定性系统的有规则行为,同时也发现了同一系统在某些条件下可出现非周期的无规则行为,这是与当时气象界的权威观点相矛盾的,但却与Lorenz的经验和直觉相吻合,因为长期天气预报确实始终没有获得过成功,这就是有趣的“蝴蝶效应”。他敏感地意识到:一串事件可能有一个临