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42两角和与差的正弦教材分析在这节内容中，公式较多，一旦处理不当，将成为学生学习的一种负担．针对这个特点，应充分揭示公式的内在联系，使学生理解公式的形成过程及其使用条件，在公式体系中掌握相关的公式．同时，通过练习使学生能够熟练地运用这些公式．当然，这些公式的基础是两角和差的余弦公式．通过诱导公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α为任意角），可以实现正、余弦函数间的转换，也可推广为sin（α＋β）＝ｃｏｓ［－（α＋β）］＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推导出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四个公式的左边均为两角和与差的正、余弦，右边均为单角α，β的正、余弦形式．不同点为公式Sα+β，Sα-β两边的运算符号相同，Cα+β与Cα-β两边的运算符号相反．Sα+β与Sα-β中右边是两单角异名三角函数的乘积，而Cα-β与Cα+β的右边是两单角同名三角函数的乘积．任务分析这节课计划采用启发引导和讲练结合的教学方式，对三角函数中的每一个公式要求学生会推导，会使用，要求不但掌握公式的原形，还应掌握它们的变形公式，会把“asinｘ＋bcosｘ”类型的三角函数化成一个角的三角函数．在课堂教学中，将采用循序渐进的原则，设计有一定梯度的题目，以利于培养学生通过观察、类比的方法去分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的思维习惯．在教学中，及时提醒学生分析、探索、化归、换元、类比等常用的基本方法在三角变换中的作用．这节课的重点是准确、熟练、灵活地运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的求值、化简和证明，难点是公式的变形使用和逆向使用．教学目标1.能用两角差的余弦公式导出两角和的余弦公式，两角和差的正弦公式，并了解各个公式之间的内在联系．2.能运用两角和差的正、余弦公式进行三角函数式的化简、求值和证明．3.通过公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力，同时渗透数学中常用的换元、整体代换等思想方法．教学过程一、问题情景如图42-1，为了保持在道路拐弯处的电线杆OB的稳固性，要加一根固定钢丝绳，要求钢丝绳与地面成75°角．已知电线杆的高度为5m，问：至少要准备多长的钢丝绳？设电线杆与地面接触点为B，顶端为O，钢丝绳与地面接触点为A．在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出钢丝绳的长度．75°角可表示成两个特殊角45°与30°的和，那么sin75°的值能否用这两特殊角的三角函数值来表示呢？二、建立模型1.探究已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，则sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函数名与cos（α＋β）和cos（α－β）有何关系？通过诱导公式可实现正、余弦函数的转换，即sin（α＋β）＝推导以上公式的方法并不是唯一的，其他推导方法由学生课后自己探索．3.分析公式的结构特征Sα+β与Sα-β中两边的加减运算符号相同，右边为α与β角的异名三角函数的乘积．应特别注意公式两边符号的差异．三、解释应用［例题一］已知sinα＝－，且α为第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．分析：本题主要训练公式Sα-β与Sα+β的使用．由sinα＝－及α为第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．［练习一］分析：1.（1）强调公式的直接运用，寻找所求角与已知角之间的关系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知条件求出cos（30°＋α）．2.应注意三角形的内角之间的关系，C＝π－（A＋B），再由诱导公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即转化为求－cos（A＋B）．3.应注意分析角之间的关系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β还应求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此题时，先把α＋β与α－β看成单角，然后把2β用这两个单角来表示．4.该题是在已有知识的基础上进一步深化，引导学生分三步进行：（1）求出α＋β角的某个三角函数值．（2）确定角的范围．（3）确定角的值．其中，求α＋β的某个三角函数值时，应分清是求cos（α－β）还是求sin（α－β）．已知向量＝（3，4），若将其绕原点旋转45°到′→的位置，求点P′（x′，y′）的坐标．解：设∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′－，．已知向量＝（4，3），若将其绕原点旋转60°，－135°到1，2的位置，求点P1，P2的坐标．［例题三］求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosｘ－sinx．（2）y＝3sinx＋4cosx．（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）．注：（1），（2）为一般性问题，是为（3）作铺垫，推导时，要关注解题过程，以便让学生充分理解辅助角φ满足的条件．（3）解：考查以（ａ，ｂ）为坐标的点P（ａ，ｂ），设以OP为终边的一个角为φ，则［练习三］求下列函数的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．（2）y＝sinx－sin（x＋）（3）已知两个电流瞬时值函数式分别是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I2的函数式．四、拓展延伸出示两道延伸性问题，引导学生独立思考，然后师生共同解决．1.已知三个电流瞬时值的函数式分别为I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt＋60°），求它们合成后的电流瞬时值的函数式I＝I1＋I2＋I3，并指出这个函数的振幅、初相和周期．2.已知点P（x，y），与原点的距离保持不变绕原点旋转θ角到点P′（x′，y′）（如图42-2），求证：点评这篇案例设计完整，思路清晰．案例首先通过问题情景阐述了两角和、差正弦公式产生的背景，然后引导学生体会公式的形成过程，进一步理解和分析化归、换元、类比等数学常用思想方法在三角变换中的作用．例题的设计由浅入深，完整，全面．“拓展延伸”的设计有新意，有一定深度，为学生的数学思维能力和创造力的培养提供了平台．整篇案例紧紧围绕Sα+β的推导和应用，内容充实，环节紧凑，关注及时的巩固和深化，同时，注意拓展延伸的难度和思维深度．应该说，这是一篇比较成功的教学设计案例．值得推敲的是，“问题情景”似乎有些牵强．