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32任意角的三角函数教材分析这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键．因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备．教学目标1.让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力．2.理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式（一），并能初步应用它们解决一些问题．3.通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平．任务分析在初中，我们只是学习了锐角三角函数，现在学习的是任意角的三角函数．定义的对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，从四种三角函数增加到六种三角函数．定义的媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系．为了便于学生体会和理解，突出定义适用于任意角，通常要把终边出现在四个象限的情况都画出来（注意表示角时不用箭头），学习时，必须弄清并强调：这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，符合函数的定义，从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义．对于三角函数的定义域、函数值在各象限内的符号和诱导公式（一），可放手让学生探索、研究、讨论和归纳，用以培养学生的数学思维能力．教学设计一、情景设置初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课，我们研究当α是一个任意角时的三角函数的定义．在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1，在Rt△ABC中，现在，把三角形放到坐标系中．如图32-2，设点B的坐标为（x，y），则OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，从而即角α的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．二、建立模型一般地，设α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向，建立直角坐标系xOy．P（x，y）为α终边上不同于原点的任一点．如图：那么，OP＝，记作r，（r＞0）．对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：.当α确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把称之为α角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为对于定义，思考如下问题：1.当角α确定后，比值与P点的位置有关吗？为什么？2.利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗？为什么？三、解释应用［例题］1.已知角α的终边经过P（－2，3），求角α的六个三角函数值．思考：若P（－2，3）变为（－2m，3m）呢？（m≠0）2.求下列角的六个三角函数值．注：强化定义．［练习］1.已知角α的终边经过下列各点，求角α的六个三角函数值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）．2.计算．（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．四、拓展延伸1.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina＝，不论α取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地，研究cosa，tana，cota的定义域．2.根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota的值在各个象限的符号．3.计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律．（1）sin30°，sin390°．（2）cos45°，cos（－315°）．规律：终边相同的角有相同的三角函数值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．五、应用与深化［例题］1.确定下列三角函数值的符号．2.求证：角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0，并且tanθ＞0．证明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ为第三象限角．∵sinθ＜0成立，所以θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上．又∵tanθ＞0成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限．∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的终边只能位于第三象限．必要性：若θ为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sinθ＜0，tanθ＞0．从而结论成立．［练习］1.设α是三角形的一个内角，问：在sina，cosa，tana，tan中，哪些三角函数可能取负值？为什么？2.函数的值域是____________．点评这节课在设计上特别注意了以下几点：①前后知识的联系，知识的产生、发展过程，如任意角的三角函数的定义，由初中所讲“0°～360°”的情况逐渐过渡到“任意角”的情况，讲清了推广的必要性及意义．②注重了知识的探究，如三角函数值在各象限的符号，及诱导公式（一）．这里由学生自己去研究，讨论，探索得出一般性结论，培养了学生获取知识、探究知识的能力，强化了自主学习的意识．③注意了跟踪练习的设计．例题典型，练习有层次和变化，巩固知识到位．总体来说，这是一节实用较强，形式又不乏新颖的较好案例．