函数()图像及其变换

1/7函数的图像及变换【知识要点】一、图像法①表示函数的方法之一；②处理问题的优点“直观，形象”；③体现数学思想“数形结合”。二、作图的基本方法1.利用描点法作图：（处理陌生函数图像的常用方法）①确定函数的定义域；②化简函数解析式—等价变形；③讨论函数的性质：1）值域：研究一下图像的最高（低）点；2）单调性：分析图像的升降性；3）奇偶性：研究函数图像的对称性；4）周期性：研究函数图像是否重复出现；5）截距：确定图像与x轴,y轴交点的横、纵坐标。2.利用已知的基本初等函数的图像变换作图：（1）对称变换（几种常用对应点的对称变换）关于x轴对称：(,)(,)xyxy关于y轴对称：(,)(,)xyxy关于原点对称：(,)(,)xyxy关于yx对称：(,)(,)xyyx关于yx对称：(,)(,)xyyx关于直线xa对称：(,)(2,)xyaxy（轴对称）关于yxb对称：(,)(,)xyybxb关于yxb对称：(,)(,)xybyxb关于点(,)Pab对称：(,)(2,2)xyaxby（点对称）（2）对折变换①关于形如()yfx的图像画法：当0x时，()yfx；当0x时，()yfx()yfx为偶函数，关于y轴对称，即把0x时()yfx的图像画出，然后0x时的图像与0x的图像关于y轴对称即可得到所求图像.②关于形如()yfx的图像画法当()0fx时，()yfx；当()0fx时，()yfx先画出()yfx的全部图像，然后把()yfx的图像x轴下方全部关于x轴翻折上去，原x轴上方的图像保持不变，x轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.（3）平移及伸缩变换①水平平移把函数()yfx的全部图像沿x轴方向向左（0a）或向右（0a）平移a个单位即可得到函数()yfxa的图像②垂直平移把函数()yfx的全部图像沿y轴方向向上（0a）或向下（0a）平移a个单位即可得到函数()yfxa的图像③伸缩变换Ⅰ.将函数()yfx的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a或缩短(01)a为原来的a倍得到函数()(0)yafxa的图像.Ⅱ.将函数()yfx的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a或缩短(01)a为原来的1a倍得到函数()(0)yfaxa的图像.2/7课后检测函数图像及其变换-数形结合一．选择题（共10小题）1．（2012•湖北）已知定义在区间（0，2）上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=﹣f（2﹣x）的图象为（）A．B．C．D．2．（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象（）A．B．C．D．3．（2007•奉贤区一模）函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．4．（2009•成都二模）函数f（x）=的图象为（）A．B．C．D．5．（2013•福建）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．6．（2010•河南模拟）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，那么实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．7．（2010•宁夏）已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）8．（2007•浙江）设f（x）=，g（x）是二次函数，若f（g（x））的值域是[0，+∞），则函数g（x）的值域是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）C．[0，+∞）D．[1，+∞）3/79．（2007•湖南）函数的图象和函数g（x）=log2x的图象的交点个数是（）A．4B．3C．2D．110．（2002•北京）已知f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）•cosx＜0的解集为（）A．（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（，3）B．（﹣，﹣1）∪（0，1）∪（，3）C．（﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（1，3）D．（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（1，3）二．填空题（共1小题）11．（2012•浦东新区二模）直线y=﹣x+a与曲线y=有两个交点，则a的取值范围是_________．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2012•湖北）已知定义在区间（0，2）上的函数y=f（x）的图象如图所示，则y=﹣f（2﹣x）的图象为（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．2860917专题：作图题．分析：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可求f（x），进而可求y=﹣f（2﹣x），根据一次函数的性质，结合选项可可判断解答：解：由（0，2）上的函数y=f（x）的图象可知f（x）=当0＜2﹣x＜1即1＜x＜2时，f（2﹣x）=2﹣x当1≤2﹣x＜2即0＜x≤1时，f（2﹣x）=1∴y=﹣f（2﹣x）=，根据一次函数的性质，结合选项可知，选项B正确故选B点评：本题主要考查了一次函数的性质在函数图象中的应用，属于基础试题2．（2010•兰州一模）当a＞1时，在同一坐标系中，函数y=a﹣x与y=logax的图象（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．2860917专题：数形结合．分析：先将函数y=a﹣x化成指数函数的形式，再结合函数的单调性同时考虑这两个函数的单调性即可判断出结果．解答：解：∵函数y=a﹣x与可化为函数y=，其底数小于1，是减函数，又y=logax，当a＞1时是增函数，两个函数是一增一减，前减后增．4/7故选A．点评：本题考查函数的图象，考查同学们对对数函数和指数函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．3．（2007•奉贤区一模）函数y=1+的图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象与图象变化．2860917专题：数形结合．分析：把函数y=的图象先经过左右平移得到y=的图象，再经过上下平移得到y=+1的图象．解答：解：将函数y=的图象向右平移1个单位，得到y=的图象，再把y=的图象向上平移一个单位，即得到y=+1的图象，故选A．点评：本题考查函数图象的平移规律和平移的方法，体现了数形结合的数学思想．4．（2010•宁夏）已知函数若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（）A．（1，10）B．（5，6）C．（10，12）D．（20，24）考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的图象；对数的运算性质；对数函数的图像与性质．2860917专题：作图题；压轴题；数形结合．分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可．解答：解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则ab=1，则abc=c∈（10，12）．故选C．点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．5．（2010•河南模拟）已知函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，那么实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质．2860917分析：f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减，即f（x）在两段上都单调递减，且在x＜1时，x→1时，f（x）≥f（1）．解答：解：x＜1时，f（x）=（3a﹣2）x+6a﹣1单调递减，故3a﹣2＜0，a＜，且x→1时，f（x）→9a﹣3≥f（1）=a，a≥；x＞1时，f（x）=ax单调递减，故0＜a＜1，综上所述，a的范围为故选C点评：本题考查分段函数的单调性，除了考虑各段的单调性，还要注意断开点处的情况．6．（2009•成都二模）函数f（x）=的图象为（）5/7A．B．C．D．考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法．2860917专题：图表型；数形结合．分析：我们看，该函数是偶函数，所以对称区间上的图象关于y轴对称，则易知结论．解答：解：当x≥0时，是一条直线，所以选项都满足当x＜0时，y=3|x|=3﹣x与y=3x（x≥0）关于y轴对称．故选C点评：本题主要考查函数图象在作图和用图时，一定要注意关键点，关键线和分布规律．7．（2013•福建）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．2860917专题：作图题．分析：由题意可判函数为偶函数，可排除C，再由f（0）=0，可排除B、D，进而可得答案．解答：解：由题意可知函数的定义域为R，∵f（﹣x）=ln（x2+1）=f（x），∴函数为偶函数，故可排除C，由f（0）=ln1=0，可排除B、D故选A点评：本题考查函数的图象，涉及函数的奇偶性和函数值，属基础题．8．（2007•浙江）设f（x）=，g（x）是二次函数，若f（g（x））的值域是[0，+∞），则函数g（x）的值域是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）C．[0，+∞）D．[1，+∞）考点：函数的图象；函数的值域．2860917专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：先画出f（x）的图象，根据图象求出函数f（x）的值域，然后根据f（x）的范围求出x的范围，即为g（x）的取值范围，然后根据g（x）是二次函数可得结论．解答：解：如图为f（x）的图象，由图象知f（x）的值域为（﹣1，+∞），若f（g（x））的值域是[0，+∞），只需g（x）∈（﹣∞，﹣1]∪[0，+∞）．而g（x）是二次函数，故g（x）∈[0，+∞）．故选：C点评：本题主要考查了函数的图象，以及函数的值域等有关基础知识，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．9．（2007•湖南）函数的图象和函数g（x）=log2x的图象的交点个数是（）A．4B．3C．2D．1考点：函数的图象与图象变化．2860917专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：根据分段函数图象分段画的原则，结合一次函数、二次函数、对数函数图象的画出，我们在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象，数形结合即可得到答案．6/7解答：解：在同一坐标系中画出函数的图象和函数g（x）=log2x的图象如下图所示：由函数图象得，两个函数图象共有3个交点故选B点评：本题考查的知识函数的图象与图象的变化，其中在同一坐标系中画出两个函数的图象是解答的关键．10．（2002•北京）已知f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象如图所示，那么不等式f（x）•cosx＜0的解集为（）A．（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（，3）B．（﹣，﹣1）∪（0，1）∪（，3）C．（﹣3，﹣1）∪（0，1）∪（1，3）D．（﹣3，﹣）∪（0，1）∪（1，3）考点：函数的图象与图象变化；奇函数．2860917专题：计算题；压轴题．分析：由已知中f（x）是定义在（﹣3，3）上的奇函数，当0＜x＜3时，f（x）的图象，我们易得到f（x）＜0，及f（x）＞0时x的取值范围，结合余弦函数在（﹣3，3）上函数值符号的变化情况，我们即可得到不等式f（x）•cosx＜0的解集．解答：解：：由图象可知：0＜x＜1时，f（x）＜0；当1＜x＜3时，f（x）＞0．再由f（x）是奇函数，知：当﹣1＜x＜0时，f（x）＞0；当﹣3＜x＜﹣1时，f（x）＜0．又∵余弦函数y=cosx当﹣3＜x＜﹣，或＜x＜3时，cosx＜0﹣＜x＜时，cosx＞0∴当x∈（﹣，﹣1）∪（0，1）∪（，3）时，f（x）•cosx＜0故选B点评：本题主要考查了奇、偶函数的图象性质，以及解简单的不等式，题目有一定的综合度属于中档题．二．填空题（共1小题）11．（2012•浦东新区二模）直线y=﹣x+a与曲线y=有两个交点，则a的取值范围是[1，）．考点：函数的图象；直线与圆的位置关系．2860917专题：作图题．分析：数形结合来求，因为曲线y=表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x轴上方的部分．只要把斜率是1的直线平行移动，看a为何时直线与曲线y=有两个交点即可．解答：解；曲线y=表示的曲线为圆心在原点，半径是1的圆在x轴以及x