向量函数的微分与积分

§6向量函數的微分與積分）的向量，定義分述如下。1.平面上的向量函數，則向量函數的導函數即針對其各分量進行微分（單變數或偏微分（多變數）後()()i()jvtftgt=+()()i()jdvtftgtdt′′=+，則(,)(,)i(,)jvxyfxygxy=+(,)(,)i(,)jvxyfxygxyxxx∂∂∂=+∂∂∂，(,)(,)i(,)jvxyfxygxyyyy∂∂∂=+∂∂∂2.三度空間中的向量函數()()i()j()kvtftgtht=++()()i()j()kdvtftgtht′′′=++，則dt(,)(,)i(,)j(,)kvxyfxygxyhxy=++，則((,)j(,)kvgxyhxy,)(,)ixyfxyxxxx∂∂∂+∂∂∂∂=+∂(,)(,)i(,)j(,)kvxyfxygxyhxyyyyy∂∂∂∂=++∂∂∂∂(,,)(,,)i(,,)j(,,)kvxyzfxyzgxyzhxyz=++，則(,,)(,,)i(,,)j(,,)kvxyzfxyzgxyzhxyzxxxx∂∂∂∂=++∂∂∂∂(,,)(,,)i(,,)j(,,)kvxyzfxyzgxyzhxyzyyyy∂∂∂∂=++∂∂∂∂(,,)(,,)i(,,)j(,,)kvxyzfxyzgxyzhxyzzzzz∂∂∂∂=++∂∂∂∂除此之外，與純量函數一樣，也可以求向量函數的高階導函數或高階偏導函數，例如：22()()i()jdvtftgtdt′′′′=+2(,,)(,,)i(,,)j(,,)kvxyzfxyzgxyzhxyzxyxyxyxy⎡⎤⎡⎤⎡∂∂∂∂∂∂∂=++⎢⎥⎢⎥⎢∂∂∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎤⎥⎦【例1】設231()i2jk3vtttt=+−，求dvdt、22dvdt。解：232kt1i2jk2i2j3dvdddttttdtdtdtdt⎛⎞⎛⎞⎛⎞=+−=+−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠,()2222i2jk2i2kdvdttdtdt=+−=−t-20-向量函數的微分也有一些類似純量函數的微分的性質，以下幾個單變數的向量函數的微分性質。若123,,vvv為可微分的向量函數，R為可微分的純量函數，則1.1212()()ddvtvt⎡⎤+=⎣⎦()()dvtvtdtdtdt+2.111()()()()()()dddRtvtRtvtvtRtdtdtdt⎡⎤=+⎣⎦3.121212()()()()()()dddvtvtvtvtvtvtdtdtdt⎡⎤=+⎣⎦iii4.121212()()()()()()dddvtvtvtvtvtvtdtdt⎡⎤×=×+×dt⎣⎦5.12312()vtdt+3123123()()()()()()()()()()()ddddvtvtvtvtvtvtvtvtvtvtvtdtdtdt⎡⎤×=×+××⎣⎦iiii6.()123123()vtdt+123123()()()()()()()()()()()ddddvtvtvtvtvtvtvtvtvtvtvtdtdtdt⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤××=××××+××⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦向量函數的積分定義如下：()()i()j()kvtftgtht=++()()()()i()j()kdtftdtgtdthtdt=++∫∫∫()vt∫()()())()i()j()kbbbbaaadtftdtgtdthtdt=++∫∫∫(avt∫，求23()2i3j4kvtttt=+−()vtdt∫、20()vtdt∫【例2】設。()()()23()2i3j4kvtdttdttdttdt=+−∫∫∫∫解：()()()23412ijtctctc=+++−+3k234ijktttc=+−+（k123ijcccc=+−）()()()2222234i8j16k=+−0000()2i3j4kvtdttdttdttdt=+−∫∫∫∫在前一可個單元提到向量函數以用來描述某物體或質點的運動軌跡，底下來探討向量函數如何描述砲彈發射後的過程，以及以例子來說明如何解決進一步的問題。設砲彈由距離地表高度之處，以仰角0sθ、初速率發射，表重力加速度的大小，表整個過程的時間，則j0vingt初速度為向量000vcsisvvoθθ=+，向量0=0sjs便是表示砲彈的初始位數()jatg=−即表重力加速度，所以向量函數置，向量函()v()()jjtatdtgdtgtc==−=−∫∫+-21-即表砲彈的飛行速度，而，得0vc=，因此0v(0)v=00(cos)i(sinjvgtvv())tθθ=+−+dt即表砲彈在過程中的位置，而s()v()tt=∫0s(0)s=，可推導得向量函數2001s()(cos)i(sin)j2tvtgtvtsθθ⎛⎞=+−++⎜⎟⎝⎠0也就是說砲彈的飛行軌跡的參數方程式為2001()(cos),()(sin)20xtvtytgtvtθθ==−+s+將一枚砲彈由地表以仰角、初速率768ft/發射，求（1）砲彈軌跡的向量函數與參數方程式（2）砲彈可到達的最大高度（3）射程（4）撞擊時的速率。（設重力加速度之大小為（1）由題意知，【例3】s30322ft/s）解：0s0=0v3843i384j=+()32jat=−，所以v()3843i(32384)jtt=+−+，()()2s()3843i16384jtttt−+=+砲彈軌跡的參數方程式為2()3843,()16384xttytt==−t+），（2令y()32384ytt′=−+()0t′=12t=得且所以砲彈到達的最大高度為()320yt′′=−(12)2304fty=（3）由得，表示砲彈撞擊的時間在()0yt=0,24t=24t=射程為4）由（3）可知撞擊時的速度為(24)15963ftx≈所以（v(24)3843i(384)j=+−22v(24)(3843)(384)768ft/s=+−=所以撞擊的速率為-22-