向量函数一致连续的判别方法研究

PureMathematics理论数学,2012,2,45-52doi:10.4236/pm.2012.21009PublishedOnlineJanuary2012()Copyright©2012Hanspub45StudyonUniformContinuityofVectorFunctionWeibinWang1,JianhuaMa1,XiaoyuanYang21SchoolofPhysicsandNuclearEnergyEngineering,BeihangUniversity,Beijing2SchoolofMathematicsandSystemSciences,BeihangUniversity,TheLMIBoftheMinistryofEducationofChina,BeijingEmail:[e-mail]:Oct.13th,2011;revised:Nov.24th,2011;accepted:Nov.27th,2011.Abstract:Thispaperstudiestheuniformcontinuityofvectorfunction.Weexpandtheapplicationofcom-parativemethodand“relativeperiod”theorem,andfindsomenewmethodstojudgetheuniformcontinuityofvectorfunction.Inthelastpart,theenlargedapplicationexamplesarepresentedtoshowtheeffectivenessofthemethodsandtheoremweoffer.Keywords:VectorFunction;UniformContinuity;“RelativePeriod”;ComparativeMethod向量函数一致连续的判别方法研究王玮彬1，马建华1，杨小远21北京航空航天大学物理科学与核能工程学院，北京2北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室，北京Email:[e-mail]收稿日期：2011年10月13日；修回日期：2011年11月24日；录用日期：2011年11月27日摘要：本文研究了向量函数的一致连续问题。提出了向量函数相对周期的概念，在此基础上，给出了向量函数一致收敛的判别方法，最后给出实际应用的例子，说明本文提出方法的有效性。关键词：向量函数；一致连续；“相对周期”；比较判别法1.向量函数一致连续的基本定义函数的一致连续是基础数学研究的一个重要概念。一元向量函数一致连续性的探究，对复变函数及运动物理学的研究具有重要意义。在文献[1-4]中，我们研究了一元函数和多元函数一致连续判别法。本文在此基础，研究了向量函数的一致连续判别方法。本文获得的结论进一步扩宽了这一问题的理论成果，具有理论和应用价值。下面给出向量函数一致连续和不一致连续的定义。定义1.1.(一致连续)设12,,nmDRDR1:2FDD。若任意给定，存在，对于任意的01,DXY，当XY时，FFXY成立，则称F在1D上一致连续。定义1.2.(不一致连续)设12,,nmDRDR1:2FDD。若存在一个，对任何，在0iN1D中可以找到两个向量列，,iiSK1iiiSK，但是0iiFFSK，则称F在1D上不一致连续，这里为自然数集合。N王玮彬等向量函数一致连续的判别方法研究2.向量函数一致连续的相对周期判别法首先将一元函数周期的概念拓展到向量函数，对于一般向量函数定义周期如下。定义2.1.(向量函数的周期)设:,:nmniFRRfRR。1212,,,,,,mmFffffffXXXXXTXXTT对任意成立(其中12,,,nnxxxRXixR)，则定义多元函数的周期为12,,,,niTTTTRT。例1.向量函数sincos2π,cos22sin2cos2xyFxyxyxyπ2π以为周期。2,xyR2定义2.2.(向量函数的逆映射定义)设121,,:nmDRDRFDD。若对任意X，存在映射211:DFD，且满足1FFXX，则称1FX是向量函数FX的逆映射。定义2.3.(向量函数广义相对周期定义)设:,:nmnnFRRGRR。其中FX以T为周期。若向量函数12,,nGgggXXXX。:nigRR。X存在逆映射1GX，则复合向量函数WFGXX的第k个相对周期为：11121,,,kkkGkGkTTTTRTTTknki下面通过一个例题来阐释向量函数逆映射及相对周期的求法。例2.222sincosπ,cos2sinxyWxyxyxy2(,)xyR,y解：分析向量函数Wx的复合结构：,,yFGxyWx，其中sincosπ,cos2sinxyFxyxyxyππ，是以为周期的周期向量函数；2,Gxxyy，根据逆映射定义1GGXX易求得其存在逆映射12,xGxyy。于是由相对周期的定义求得,Wxy的第k个相对周期为1122221ππ1ππ1π1ππ[1π]kkkkkGkGkkkkkTTT定理2.1.(基于广义相对周期的一致连续判别方法)设:,nmFRR:,:nnnmGRRWRR。12,,,nnxxxRX。其中FX为nR上连续的周期向量函数且以T为周期，则对于复合向量函数WFGXX，若其存在相对周期，且,,,kknT12kkTTT46Copyright©2012Hanspub王玮彬等向量函数一致连续的判别方法研究inf0kT，则向量函数WX在nR上不一致连续。证明：设是kSWX在上的模最大值点(波峰点)，即kT100,kkpqqkpTTS,且对，时，必有100,kkpqpqTTX1,2,n100kkippqxT,iT,qiikWWXS成立；是kKWX在上的模最小值点(波谷点)，即，且对，时，必有kT,1,2,,iqiTin1kpK00,kkpqTqT100,kkpqpqTTX100kkippqxTkWWXK成立。由广义相对周期定义2.3.知，若kT100,kkpqpqTTX，即111,GkGkXTT，且1GGYY，所以有：。1,kTTGkX又因为FX是周期向量函数，在每个周期T上有固定的波峰点和波谷点，设FX在上的模最大值为，模最小值为，并且1,kkTTmaFYxminFYmaxminFAYY(1,,kkkNYTTF，A为常数)，因此在每个相对周期上也都有minmax,FGFFXYY成立，且F在nR上连续，即总可以找到这样的向量列，使,kkSKmaxminmaxmin,kkWFGFWFGFYKXYSX故有minmax0kkSKWWFFAYY。对由,,iNNNinf0kT即likm0kTkN知，当时，有1kiT，且必有100,,kkpqkkpqSKTT,1kkkiTSK，但是0kkWWASK，所以函数WX在nR上不一致连续。3.向量函数一致连续的比较判别法这一节我们讨论向量函数在不同类型区域上的一致连续性的比较判别法。定理3.1.设nDR有界开集，函数,:m,FGDRXX,FGCXXD。DA，存在nRB满足limFaGXAXXB上,FGXX有相同的一致连续性。(其中为非零常实数)，则在集合aD证明：作辅助函数,;,.FaGDWDXXXXBX则WX在有界闭集D上连续，故一致连续，因此D上,FGXX有相同的一致连续。结论得证。为了下面叙述方便，我们引进下面记号。Copyright©2012Hanspub47王玮彬等向量函数一致连续的判别方法研究,nrrRBOOXXX，,nrBrROOXXX，,nrrRBOOXXX。定理3.2.设1,nr,cEBRDOE向量函数12,:mFGDDR，且满足1,FGCXXD，如果limFaGXXXB成立(其中为非零常实数，B为常值向量)，则在集合a1D上,FGXX有相同的一致连续性。证明：首先证明如果GX在1D上一致连续，则FX在1D上一致连续。由于gX在1D上一致连续，则有定义1.1.得到12112120,0,,,,3DGGAXXXXXX(3.1)又lim,FaGXXXB对于0,0,Mr当0MX时，有3FaGXXB(3.2)取12,MMXX，且12XX，则根据(3.1)和(3.2)得到12111222111222333FFFaGaGaGBaGFFaGaGGFaGXXXXBXXXXXXBXXXXB从而得到FX在上是一致连续的。又由于1\nMDRBOFX在有界闭集cMEBO上连续，因此一致连续，综合上面证明，FX在1D上一致连续。同理可证明FX在1D上一致连续，则GX在1D上一致连续，即,FGXX具有相同的一致连续性。结论得证：由定理3.2可以得到下面推论。推论3.1.向量函数,:nmFGRR，且满足,nFGCRXX，如果limXFaGXXB.成立(其中a为非零常实数，B为常值向量)，则在集合nR上,FGXX有相同的一致连续性。推论3.2.设1,,crDEEBO向量函数12,:mFGDDR，且满足1,FGCXXD,如果1)limFaGXXXB,2),,mrWRXXBOlimFaGWYXYYX成立(其中为非零常实数，B为常值向量)，则在集合a1D上,FGXX有相同的一致连续性。定理3.3.设，向量函数12121212,,,,nnEEREEEEEEREEE1,FGCXXEE1。若在E上满足：limFaGXXxB.成立(其中为非零常实数，B为常值向量)，则在集合a1EE上,FGXX有相同的一致连续性。图1给出了定理3.3.中向量函数定义域示意图。48Copyright©