离散型随机变量及分布

第二章离散型随机变量及分布本章要点本章引入随机变量的概念,讨论几种类型的随机变量一、一维离散型随机变量及分布二、一维离散型随机变量的常用分布及相应的分布.主要内容有:三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布四、随机变量的独立性五、随机变量函数的分布一、随机变量1.随机变量例1设随机试验为抛硬币试验,我们以符号表示出EH01X出现正面,出现反面.现的是正面,符号表示出现的是反面,为了更好的刻画F这类随机试验,我们用一个数对应一个试验的结果，由此引入一个变量XE例2设随机试验为一次打靶试验,其基本结果是中与01X击中目标,未击中目标.不中.同样可以引入变量:也有很多试验，其结果本身就用数来表示的.例如在一大批产品中有5%的次品，从中抽取10件产品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以引进变量X来表示其中的次品数，其取值为0,1,2,,10.X例3设随机试验表示射击试验,以表示首次命中时EXX1,2,,,.n所进行过的射击次数.则的取值为将上面的问题一般化,我们引入下面概念.定义设为随机试验,为样本空间,定义在上的函E,:.iiRXX数称为上的（一维）随机变量.记为引入了随机变量以后,随机事件及相应的概率可以用0,.随机变量方式加以刻画.记表示“取到的一只产品是不合格品”,再以表AX例如,某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时间应该不小于小时.1000此时示取出的灯泡的寿命,则事件可以表示为A01000.AX对应的概率可以表示为01000.PAPX二、概率函数在上节的几个例子中,我们看到问题中所涉及的几个随机变量的取值为有限多个或“可列”多个,这类随机变量称为离散型随机变量.1.离散型随机变量和概率函数12,,,,,naaa设为离散型随机变量,的可能取值为XX事件的概率为即:,ipiXa称⑴式为随机变量的分布（分布律）,又称为概率函X,iiPXap⑴数.上式又可用表格的形式给出:01,2,,ipi满足11.iip1212.nnaaaXPppp注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率为零的项不必列出..iiaKPXKPXa其中K为某一实数集.例4设袋中有5球,编号为从袋中随机地1,2,2,3,3,解以表示取到球的编号,则的取值为因1XX1,2,3.11.5PX同理,22,5PXXX取一球,以表示取到的球的编号,求的分布.号球只有一个,故及23.5PX从而随机变量的分布律为X123.122555XP例设袋中有5球,编号分别为机地取3个球,以35113.10PXCXX233534.10CPXC解243565.10CPXC345.136101010XP表示取到的3个球中的最大编号,求的分布律.X的取值为X的分布律为：1,2,3,4,5,3,4,5.从袋中随例设随机试验表示射击试验,以表示首次命中时EXX1,2,,,.n所进行过的射击次数.则的取值为设每次命中目标的概率为0.8，求随机变量的分布律及3.PX解：分布律为1120.80.20.80.20.8nXnP230.80.20.80.20.80.992.PX⑴分布01若随机变量的取值为0,1,相应的概率记为X则称服从分布.记为011,.XBp1,PXp0101,PXpp⑶一个只有两个基本结果的随机试验,都可转化为01分布.三、常用离散型随机变量习惯上,分布又常写成0101,1XPpp⑷⑵二项分布在重贝努利试验中,若以表示事件在次试验中nXAn.10,1,nkkknPXkCppkn⑸分布律为1101.111nnnkkknnnXknPpCppCppp⑹X0,1,2,,,n出现的次数.则的取值为相应的概率为:其中为事件发生的概率.则称服从参数为的pAX,np,.XBnp在概率论中,二项分布是一个重要的分布.在许多独二项分布,记成立重复试验中,都具有二项分布的形式.01分布是二项分布在1n时的特殊情况.例6某特效药的临床有效率为0.95，今有10人服用，问89108XPXPXPXP8291108910100.950.050.950.050.95CC0.9885.,10,0.95XB至少有8人治愈的概率有多少？解设X为10人中治愈的人数，则例7已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01,并设解由条件,以表示包内螺丝钉为次品的件数,则包X1101PXPXPX10911010.990.010.990.0043.C各个螺丝钉是否为次品是独立的.这家公司将10个螺丝钉包成一包出售,并保证若发现包内多于一个次品就可退款.问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？1,X被退回意味着故所求的概率为被退回的概率近似等于0.43%.例8设有保险公司的某保险险种有1000人投保,每个解以随机变量表示在未来一年中这1000个投保人死X10100010000100.0050.995.kkkkPXC人在一年内死亡的概率为0.005,且每个人在一年内是否死亡是相互独立的.试求在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人的概率.10.PX亡的人数,则相应的问题转变为求概率由~1000,0.005,XB可得在上式中直接计算是比较100010000.0050.995kkkC设当很大很小且适中时有,.XBnpnnppe0,1,2,.!kPXkkk⑻在上例中,取则有10000.0055,10010e0.986.!kkPXk困难的,为此我们引入一个简便的计算方法——即二项分布的逼近,称为泊松定理.即在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过10个人的概率为0.986.⑶泊松分布设随机变量的取值为相应的分布律X0,1,2,,,,ne0,1,2,,0,!kPXkkk⑼则称随机变量服从参数为的泊松分布,记为.XP泊松分布的计算:查表257258.P为例9设求5,XP6.PX解查表得60.1462.PX例10设某交通道口一分钟的汽车流量为随机变量,1,XXP求在一分钟内至少有2辆车通过的解所求概率为2101PXPXPX概率。112e.例11设某小区有电梯200部,每台电梯发生故障的可⑴在同一时刻恰好有5部电梯发生故障的概率;⑵在同一时刻至少有3部电梯发生故障的概率;⑶至少配备多少维修工人,使能以95%的概率,保证当解以表示在同一时刻发生故障的电梯数,则由条件X取所以4,能性为0.02,求电梯发生故障时,有维修工人进行维修..200,0.02XB得⑴由计算公式⑻得50.1563.PX⑵31012PXPXPXPX10.01830.07320.14650.762.⑶记配备的维修工人数为若能有维修工人能进行维,N0.95.PXN,XN修,则所以原问题由概率来反映,即为10.95.PXN从而查表得0.05.PXN80.02379,70.05716.PXPX故取即配备8名维修人员,使能以95%的概率,8,N保证当电梯发生故障时,一定有维修工人进行维修.80.97621,70.94284.PXPX⑷几何分布设随机变量的取值为X1,2,,相应的概率函数为11,01kPXkppp称随机变量服从参数为的几何分布,记为Xp.XGp⑽例12某人投篮的命中率为0.4，假定各次投篮是否命中相互独立，设次数，求10.410.4,1,2,3,kPXkk121kPXk21210.450.40.6.10.68kk表示他首次投中时累计已投篮的XXX的分布律，并求取奇数的概率.解：随机变量的分布律为随机变量取奇数的概率为(5)超几何分布产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题.假定在件产品中有表示的分布律为：knkMNMnNCCPXkCN件次品，从中抽取件进行检验，用MnX件中的次品数，则服从超几何分布，nXX0,1,2,,min.knM例13设15件产品中有2件次品，从中任取3件，以表示3件中的次品数，求解0321331522035CCPXC1221331512135CCPXC212133151235CCPXC012.22121353535XP的分布律为X的分布律.XX在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则3件中的次品数23,.15XB33213.15150,1,2,3kkkPXkCk四、二维随机变量及分布设是随机试验,是相应的样本空间,一个从到E的二元函数即称为一个二维随机变量.记为RR,.XY称随机变量的取值规律及相应的概率为的,XY,XY二维分布.1.联合概率函数设为二维随机变量,若它的取值为有限多个或,XY设为二维随机变量,取值为,XY,(1,2,,ijabi,,ijijPXaYbp⑾称⑾式为随机变量的联合分布律或联合概率函数.,XY,XY可列多个,则称为二维离散型随机变量.1,2,,j相应的概率为0;ijp,11.ijijp满足⑾式又可用分布表的形式给出:XY1aia1bjb11p1jp1ipijp注：全为零的行或列不必列出，变量的取值按从小到大的顺序排列。由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量落在平面上某个区域中的概率.事实上,对给定的平面区域,D则有,,,.ijijabDPXYDPXaYb⑿例12设袋中有5球,编号为今从袋中取二球1,2,2,3,3.解由条件,随机变量的可能取值为因号,XY,.ij11,10.PXY当先取号球,此时还剩4球,其中2号球有2个,故1,1111,25210PXY,XY（不放回）,分别以表示第一、二次取到的球的编,XY号,求的分布律.球只有一个,故相仿地,有,1111,35210PXY,2112,15410PXY,2112,25410PXY,2122,35210PXY由此得到分布表\12311101010.11221010101213101010XY2.边缘概率函数设为二维离散型随机变量,取值为,XY,ijab(1,2,;1,2,),ij,,ijijPXaYbp⒀X由此,随机变量的取值为相应的概率12,,,,,naaa,iiPXaPXaY121,,,.,,,niijijPXaYbybYbpp⒁为联合概率函数为称其为随机变量的边缘概率函数.同样定义X1,,.jjijjipPYbPXYbp⒂称其为随机变量的边缘概率函数.Y(1,2,),j例13设二维随机变量有概率函数,XY\012310.10.050.10.05,00.10.10.10.110.050.10.050.1XY求边缘概率函数.解对上表分别作行和及列和,得:..\012310.10.050.10.050.300.10.10.10.10.4,10.050.10.050.10.30.250.250.250.25ijXYpp由此得边缘概率函数分别为:101,0.30.40.3XP及0123.0.250.250.250.25YP例14袋中有10个球,其中红球8个,白球2个