平行线分线段成比例经典例题与变式练习(精选题目)

第1页共11页平行线分线段成比例知识梳理1.平行线分线段成比例定理如下图，如果1l∥2l∥3l，则BCEFACDF，ABDEACDF，ABACDEDF.l3l2l1FEDCBA2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DEBC∥，则ADAEDEABACBCABCDEEDCBA3.平行的判定定理：如上图，如果有BCDEACAEABAD，那么DE∥BC。专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】如图，DEBC∥，且DBAE,若510ABAC，，求AE的长。EDCBA【例2】如图，已知////ABEFCD，若ABa，CDb，EFc，求证：111cab.FEDCBA【巩固】如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EFBD，垂足为F.证明：111ABCDEF.FEDCBA第2页共11页专题二、定理及推论与中点有关的问题【例3】（2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC中，M是AC的中点，E是AB上一点，且14AEAB，连接EM并延长，交BC的延长线于D，则BCCD_______.（2）如图（2），已知ABC中，:1:3AEEB，:2:1BDDC，AD与CE相交于F，则EFAFFCFD的值为（）A.52B.1C.32D.2(1)MEDCBA(2)FEDCBA【例4】（2011年河北省中考试题）如图，在ABC中，D为BC边的中点，E为AC边上的任意一点，BE交AD于点O.（1）当1A2AEC时，求AOAD的值；（2）当11A34AEC、时，求AOAD的值；（3）试猜想1A1AECn时AOAD的值，并证明你的猜想.【例5】（2013年湖北恩施中考题）如图，AD是ABC的中线，点E在AD上，F是BE延长线与AC的交点.（1）如果E是AD的中点，求证：12AFFC；（2）由（1）知，当E是AD中点时，12AFAEFCED成立，若E是AD上任意一点（E与A、D不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.FEDCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且BEAC，延长BE交AC于F。求证：AFEF。FEDCBAEDCBAO第3页共11页【例6】（宁德市中考题）如图，ABC中，D为BC边的中点，延长AD至E，延长AB交CE的延长线于P。若2ADDE，求证:3APAB。PEDCBA专题三、利用平行线转化比例【例7】如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.求证：PMPNPRPSlSRPNMODCBA【巩固】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BDEF∥，AC的延长线交EF于G．求证：EGGF．GFECDBA【例8】已知：P为ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：1ADAEDCEBPNMEDCBA【例9】在ABC中，底边BC上的两点E、F把BC三等分，BM是AC上的中线，AE、AF分别交BM于G、H两点，求证：::5:3:2BGGHHMMHGFECBA【例10】如图，M、N为ABC边BC上的两点，且满足BMMNNC，一条第4页共11页平行于AC的直线分别交AB、AM和AN的延长线于点D、E和F.求证：3EFDE.FNMEDCBA【例11】已知：如图，在梯形ABCD中，//ABCD，M是AB的中点，分别连接AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于点E，DB与MC交于F.（1）求证：//EFCD（2）若ABa,CDb，求EF的长.FEMDCBA【巩固】（山东省初中数学竞赛题）如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，396ADBCAB，，,4CD，若EFBC∥，且梯形AEFD与梯形EBCF的周长相等，求EF的长。FEDCBA【例12】（山东省竞赛题）如图，ABCD的对角线相交于点O，在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F，若ABaADcBEb，，,求BF的值。OFEDCBA第5页共11页【例13】已知等腰直角ABC中，E、D分别为直角边BC、AC上的点，且CECD，过E、D分别作AE的垂线，交斜边AB于L，K．求证：BLLK．LKEDCBA过手练习【习题1】如已知DEAB∥，2OAOCOE，求证：ADBC∥.DOECBA【习题2】在ABC中，BDCE，DE的延长线交BC的延长线于P，求证：ADBPAECP.【习题3】如图，在ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使ADAE，直线DE和BC的延长线相交于P，求证：BPBDCPCEPEDCBA第6页共11页PEDCBA专题讲解1．选择题（1）如图5-27，△ABC中，D在AB上，E在AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（）图5-27A．ABAEACADB．DBECAEADC．ACAEABADD．ABAEACBD（2）如图5-28，321////lll，4l与5l交于点P，PA＝a，AB＝b，BC＝c，PD＝d，DE＝e，EF＝f，则bf＝（）图5-28A．abB．bdC．aeD．ce（3）如图5-29，△ABC中，21ACAEABAD，则OE∶OB＝（）第7页共11页图5-29A．21B．31C．41D．51（4）如图5-30，已知BN∥AM，ND∥MC，那么有（）图5-30A．NMPNDAPDB．PDPCPBPAC．MCNDPBPAD．以上答案都不对（5）如图5-31，H为□ABCD中AD边上一点，且AH＝21DH，AC和BH交于点K，则AK∶KC等于（）图5-31A．1∶2B．1∶1C．1∶3D．2∶32．填空题（1）如图5-32，梯形ABCD中，AD∥BC，延长两腰交于点E，若AD＝2，BC＝6，AB＝4，则ECED＝________，DCDE＝________；第8页共11页图5-32（2）如图5-33，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝4，AB＝7，且MN∥PQ∥AB，DM＝MP＝PA，则MN＝________，PQ＝________；图5-33（3）如图5-34，梯形ABCD中，AB∥CD，M为AB中点，分别连结AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于E，BD与MC交于F，则EF与AB的位置关系是________；3．如图5-35，△ABC中，M为AC的中点，E为AB上一点，且ABAE41，连结EM并延长，交BC的延长线于D，求证：BC＝2CD．第9页共11页4．如图5-36，在△ABC中，EF∥CD，DE∥BC，求证：DBADFDAF．5．如图5-37，△ABC中，AF∶FD＝1∶5，BD＝DC，求：AE∶EC．6．如图5-38，M为□ABCD的边BC的中点，F为DC边上的点，BF交AM于N，交AC于E，且AN＝3MN，求FC∶AB的值．第10页共11页7．如图5-39，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC交AC于E，连结CD，过E作EF∥CD交AB于F，求证：AD是AF和AB的比例中项．8．如图5-40，已知△ABC中，AB＞AC，AD⊥BC于D，F为BC中点，过F作BC垂线交AB于E，BD＝6cm，DC＝4cm，AB＝8cm，求AE、BE的长．9．如图5-41，已知△ABC中，∠ACB＝90°，BFCS∶AFCS＝1∶3，BC＝12cm，FE⊥BC于E，求EB的长．第11页共11页10．如图5-42，已知：□ABCD对角线交于O，OE⊥BC于E，交AB的延长线于F，若AB＝a，BC＝b，BF＝c，求BE的长．参考答案1．（1）A（2）D（3）A（4）B（5）C2．（1）31，21（2）5，6（3）平行3．提示：过点C作CN∥DE交AB于N．4．略5．1∶106．327．略8．cm34，cm3209．3cm10．cabc2