高一级第一学期数学竞赛试题

1高一级数学竞赛试卷班级_________姓名__________全卷150分，考试时间为120分钟一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．已知集合M={x|x∈N且8－x∈N}，则集合M的元素个数为（）A．10B．9C．8D．72．已知集合}01|{2xxA，则下列式子表示正确的有（）①A1②A}1{③A④A}1,1{A．1个B．2个C．3个D．4个3．三个数7.0log,6,6667.0的大小顺序是（）A、7.06667.0log6B、7.0log6667.06C、67.06667.0logD、7.066667.0log4、若)(]1,[,618.03Zkkkaa，则k的值为（）A、0B、—1C、1D、以上均不对5.设qp5log,3log38，则5lg（）A．22qpB．qp2351C．pqpq313D．pq6．函数3log3xy的图象是（）ABCD7.函数2,12,1:f满足xfxff，则这样的函数个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8.若函数f(x)=lg(x2－ax－3)在(－∞,－1)上是减函数，则a的取值范围是()Ａ．a＞2Ｂ．a＜2Ｃ．a≥2Ｄ．a≥-29.定义集合运算:,,ABzzxyxAyB.设1,2A,0,2B,则集合AB的所有元素之和为（）A．0B．2C．3D．610.设f(x)是R上的奇函数,且在(0,+∞)上递增,若f(21)=0,f(log4x)＞0,那么x的取值范围是()A.x＞2或21＜x＜1B.x＞2C.21＜x＜1D.21＜x＜211.对任意实数x规定y取14,1,(5)2xxx三个值中的最小值，则函数y（）A、有最大值2，最小值1，B、有最大值2，无最小值，C、有最大值1，无最小值，D、无最大值，无最小值。12．如图，是某受污染的湖泊在自然净化过程中，某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：tay(t≥0，a0且a≠1)．有以下叙述①第4个月时，剩留量就会低于51；②每月减少的有害物质量都相等；③若剩留量为81,41,21所经过的时间分别是321,,ttt，则321ttt.其中所有正确的叙述是()A．①②③B．①②C．①③D．②③第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。）13.设函数1,0()0,01,0xfxxx，则方程214xfx的解为______________14.函数221fxmxx有且只有一个正实数的零点，则实数m的取值范围为.15.将2n个正整数1，2，3，…，2n填入到nn个方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方。如右图就是一个3阶幻方。定义)(nf为n阶幻方对角线上数的和。例如15)3(f，那么)4(f=.16．定义在R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)＝kx＋b(k，b为常数)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，则称g(x)为函数f(x)的一个承托函数.现有如下命题：①对给定的函数f(x)，其承托函数可能不存在，也可能有无数个；题号123456789101112答案816357492(2,94)O1234y1t(月)2②g(x)＝2x为函数f(x)＝2x的一个承托函数；③定义域和值域都是R的函数f(x)不存在承托函数.其中正确的是.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、（12分）若集合22|60,|0MxxxNxxxa，且NM，求实数a的值。18．（12分）一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个半径为x的内接圆柱。（1）试用x表示圆柱的高；（2）当x为何值时，圆柱的侧面积最大。19.（12分）已知函数f(x)=loga(ax2x+21)在[1,2]上恒为正数,求实数a的取值范围.20、（12分）已知奇函数222(0)()0(0)(0)xxxfxxxmxx（1）求实数m的值，并在给出的直角坐标系中画出()yfx的图象；（2）若函数f（x）在区间[－1，|a|－2]上单调递增，试确定a的取值范围.21．（12分）某民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查和预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位是万元）（1）分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数，并写出它们的函数关系式。（2）该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A，B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能是企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元。（精确到1万元）。22.（14分）已知函数()fx的定义域是0x的一切实数，对定义域内的任意12,xx都有1212()()()fxxfxfx，且当1x时()0,(2)1fxf，（1）求证：()fx是偶函数；（2）()fx在(0,)上是增函数；（3）解不等式212xf3高一级数学竞赛试卷（答案）一、选择题二、填空题.13．-214.m=0或m=115.3416.①16.解析：对于①，若f(x)＝sinx，则g(x)＝B(B－1)，就是它的一个承托函数，且有无数个，再如y＝tanx，y＝lgx就没有承托函数，∴命题①正确；对于②，∵当x＝32时，g(32)＝3，f(32)＝232＝22＝8，∴f(x)g(x)，∴g(x)＝2x不是f(x)＝2x的一个承托函数；对于③如f(x)＝2x＋3存在一个承托函数y＝2x＋1.三、解答题17..或或或且}3,2{}3{}2{N}3,2{NMM当N=Ø时∆=1-4a0a1/4当N={2}时∆=0x=2a不存在当N={-3}时∆=0x=-3a不存在当N={-3,2}时a=-6综上a1/4或a=-618.（1）h=6-3x(0＜x＜6）（2）s=-6π21-x）（+6π(0＜x＜6）19.题设条件等价于(1)当a＞1时,ax2x+21＞1对x∈[1,2]恒成立;(2)当0＜a＜1时,0＜ax2x+21＜1对x∈[1,2]恒成立.由(1)得a＞21)11(2112122xxx对x∈[1,2]恒成立,故得a＞23.由(2)得21)11(2121)11(2122xaxa对x∈[1,2]恒成立,故得21＜a＜85.因此,a的取值范围是a＞23或21＜a＜8520、（1）当x0时，－x0，22()()2()2fxxxxx又f（x）为奇函数，∴2()()2fxfxxx，∴f（x）＝x2＋2x，∴m＝2……………4分y＝f（x）的图象如右所示……………6分（2）由（1）知f（x）＝222(0)0(0)2(0)xxxxxxx，…8分由图象可知，()fx在[－1，1]上单调递增，要使()fx在[－1，|a|－2]上单调递增，只需||21||21aa……………10分解之得3113aa或……………12分21、（1）投资为x万元，A产品的利润为()fx万元，B产品的利润为()gx万元，由题设()fx=1kx，()gx=2kx，.由图知1(1)4f114k，又5(4)2g254k从而()fx=1,(0)4xx，()gx=54x，(0)x……………6分（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元，设企业的利润为y万元Y=()fx+(10)gx=51044xx，（010x），令22105152510,(),(010),444216txtyttt则当52t，max4y，此时25104x=3.75当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元。……………12分22、（1）证明：令21xx=1则f(1)=2f(1)得f(1)=0令21xx=-1则f(1)=2f(-1)得f(-1)=0因为f(-x)=f(-1*x)=f(-1)+f(x)=f(x)故f(x)为偶函数(2)任取2121,0,xxxx，且题号123456789101112答案BCCBCACCDABC4上递增，在故所以即发0)(0010)()(2121212121212122121xfxfxfxxfxxxxxxfxfxfxxfxfxxxfxf