导热微分方程边界条件

第一节导热一、导热的基本概念1、温度场概念：某一时刻换热系统中空间一切点温度的分布情况，数学表示式：t=f（x，y，z，τ）温度场分类：稳定温度场不稳定温度场和一维温度场二维温度场三维温度场稳定温度场：温度场不随时间变化0t若则物体被冷却0t若则物体被加热不稳定温度场：温度场随时间变化0tt=f（x，y，z）即：一维温度场：t=f（x)0tt=f（x，τ）二维温度场:t=f（x，y，τ）0tt=f（x，y)三维温度场:t=f（x，y，zτ）0tt=f（x，y，z)2、等温面和等温线等温面:温度场中同一时刻、相同温度点相连所形成的面。等温线:任意一平面与等温面下相交所得的交线。注意：同一个等温面上没有热量传递，热量传递只发生在不同的等温面之间。3、温度梯度——等温面上的法线方向温度变化率ntgradtntn)(lim0注意：温度梯度是向量，位于等温面的法线上，指向温度增加的方向。数学表示式：ntttn4、热流密度与热流量热流量（Q）：单位时间内，经由面积F所传递的热量。单位：W。热流密度(q)：在单位时间内，经由单位面积所传递的热量。单位：W/m2。二者关系：Q=qF注意：热流密度和温度梯度位于等温面的同一法线上，但指向温度降低的方向。ntttnq二、导热的基本定律1．傅里叶定律内容：单位时间内通过垂直于面积F所传递的热量与温度梯度成正比。数学表示式：ntFQ或ntFQq说明：（1）负号表示热量传递方向与温度梯度方向相反（2）λ是导热系数ntttnq2．导热系数λ物理意义：表征物质的导热能力大小即：单位温度梯度时的热流密度。单位:W／m.℃。数学表示式：ntq影响导热系数的因素：度、温度）种类、结构、湿度、密(f（1）种类的影响气体：决定于分子间的相互运动范围：λ=0.006～0.6W/（m·℃）。在很大的压力变化范围内，仅是温度的函数，而和压力无关。液体:λ=0．07～0．7W／（m·℃）。一般液体的导热系数随温度升高而减小，但标准大气压下水的导热系数却随温度升高而增大。固体：A:金属---决定于自由电子的运动.纯金属的导热系数一般随温度升高而减小。纯金属中以银的导热系数高.λ=419W/(m·℃)。纯金属中若掺有少许杂质，其导热系数将降低。B:非金属：----决定于晶格振动建筑材料和保温材料：λ=0.025～3.0W/（m·℃）导热系数大多数随着温度升高而增大；与材料的结构、多孔度、湿度、密度等因素有关。例如：湿材料的导热系数比干材料的高。结论：金属非金属液体气体一般的：（2）、温度的影响：各物质的导热系数皆随温度变化，但在一定的温度范围内，大多数工程材料的导热系数可以近似地认为是温度的线性函数)1(0t)1()(211)1()1(21)(210210201021ttttt当导热系数随温度作线性变化时，其平均值为平均温度时的值。在t1~t2内三、导热微分方程（固体）能量守恒方程1、推导思路：：取微元体，列能量守恒方程微元体内能的增量=微元体传入的热量-微元体传出的热量+微元体内热源产生的热量即：微元体热焓的增量=微元体净热增量+微元体内热源产生的热量zxdQx+dxydQx2、假定条件：（1）物体是各向同性的均质物体各向同性：指物体各方向的导热系数都相同（2）物体的物理量λ、ρ、CP均为常数（3）内热源qv均匀的分布在物体里内热源qv：指单位时间内、单位体积物体所释放出的热量.单位：w/m33、推导过程zxdQx+dxydQx以X方向为例进行分析：dydzdxtdQx在同样的时间内，沿x轴通过右垂面传出六面体的热量dxdydzdxtdydzdxtdxdydzdxtxdydzdxtdxdQxdQxdQdQxxxdxx22222)(2)()()(故x方向上的净热增量：dvdxtdxdydzdxtdQdQdxxx2222在dτ时间内，沿x轴通过左垂面传入六面体的热量总净热增量：dvdytdxdydzdytdQdQdyyy2222dvdztdxdydzdztdQdQdzzz2222tdvddvdztytxtdQ22222221)(同理：zxdQx+dxydQx热焓的增量：dvdtcmdtcdHpp内热源产生的热量dvdqv根据能量守恒：热焓的增量=传入的热量-传出的热量+内热源产生的热量即：热焓的增量=净热增量+内热源产生的热量dvdqdQdHv1dvdqdvdztytxtdvdtcvp)(222222pvpcqztytxtct)(222222这就是具有内热源的导热微分方程（或称傅立叶导热微分方程）。方程两边同除以将上面各式代入：dvdcp则：pvcqtat2可以简写为pvpcqtct2或pca令称为导温系数（或热扩散率）。a（1）、导温系数（或热扩散率）物理意义：物体内部扯平温度的能力；或不稳定温度场内物体各部分温度趋于一致的能力；或者说是不稳定温度场内物体温度随时间变化能力。单位：m2/s。pvpcqztytxtct)(2222224、讨论：例如：对两个物体加热100℃tQτ2tQτ1τ3τ420℃100℃τ1τ2τ3τ4小大或大PpCCaa大小或小PpCCaa（2）、qv有正负，qv0，物体放热；qv0，物体吸热。（3）、若物体内部无内热源，即qv=0，则上式变成tat2（4）稳态导热且内部无内热源0,0vqt则上式变成02t即：0222222ztytxtvvvcqztytxtct)(222222（5）求解方程的条件单值条件：解决微分方程所需条件。即必须规定的求解特定条件。包括物理条件：参与导热过程的物理特征。如物理参数：λ、ρ、CP几何条件：指物体的某些几何特征。如：形状时间条件:稳态导热：无时间条件非稳态导热：给定某一时刻的温度分布例如：初始条件：τ=0，t=f(x、y、z）边界条件：反映边界上特点的条件有三类三类边界条件10Ctxw2Cqw对于不稳定导热对于不稳定导热2）第二类边界条件：已知边界上的热流密度1）第一类边界条件：已知边界上的温度值如：)(010ftxw时，)()(02fqtww时，如：0xtwx0qw3）第三类边界条件：已知物体与周围流体间的换热系数α及周围流体的温度tf如：物体被冷却时，可以表示为：)()(f对于不稳定导热x)(3ftf，0twtf四、一维稳态无内热源导热分析解t=f（x)0tqv=0求解方法：vvvcqztytxtct)(222222（1）导热微分方程：ntFQ（2）付氏定律求解目的：（1）温度场（2）热流密度或热流量化简为022dxtd(一)、无限大平板的稳态无内热源的导热方法1：运用导热微分方程求热流密度q和平板内的温度分布。112txttttttttdxdtq)(2112边界条件：x=0，t=t1；x=δ，t=t2。1、通过单层平板的一维稳态导热一维稳态导热:022dxtd211CxCtCdxdt，积分：将边界条件代入得：C2=t1,C1=(t2-t1)/δ最后得：t1qxxt2tdx0δ方法2：运用付氏定律在距离板左侧面x处，取一微元体dxqxxt1t2tdxδ0列傅里叶定律的表示式dxdtq注：这里传热面积相同，可直接用热流密度公式求解，否则不可以。将上式分离变量后进行积分：ttxdtqdx10A：当λ为常数时积分)(1ttqxxqtt1所以：（温度分布）当x＝δ时，t=t2代入得若给定面积F:FtFttqFQ21(W)tttq21(W／m2)qxxt1t2tdxδ0B：当λ为非常数时导热系数随温度成线形关系:)1()(0tttttxdttqdx1)1(0积分2)()(21210ttttqx整理得：022221102ttqxtt解方程得：12)1(021qxtt温度分布讨论：β=0,温度线性分布β0,温度曲线下凹β0温度曲线上凹当x＝δ时，t=t2代入得2)()(2122120ttttq)}21({)()()21)((2)()(2102121121202122120ttttttttttttttqavavav式中：因此：在实际求解时，将平均温度的导热系数看成常数进行计算若给定面积F:FtFttqFQavav21(W)常用的简便方法----热阻法根据公式：FtFttqFQav21tttttqavav)()(2121或：可以发现：该两式与电路中公式：RUI相似相互对应关系：RFUtIQq)(,,)(令：tR单位面积上热阻FR整个传热面积上热阻δ/λt1t2qδ/λFt1t2Q对应的网络热阻图为tRtq则：RtQ对应的网络热阻图为注意：区别Rt与R只有传热面积沿途不变时，可以采用单位面积上热阻Rt，否则必须采用总传热面积的热阻Qt2t1qt1t2只能用R不能用Rt，Rt，与R都能用tRtq（适用）RtQ(适用)tRtq(不适用)RtQ（适用）2、无内源多层平板的稳态导热多层平板:指由几层材料组成的平壁如图:假设（1）λ1，λ2，λ3都为常数（2）层与层之间接触良好只各层分界面上无温度降求解方法：采用傅氏定律公式。t4xδ1δ2δ3t1t3t2qt123FttQ11211FttQ22322FttQ33433对于第三层平板:对于第二层平板:对于第一层平板:)(11121FQtt)(22232FQtt)(33343FQtt因为是稳态导热，由能量守恒原理知：Q1=Q2=Q3=Q总RtRRRtFFFttQ32133221141将上面三式相加,消去t2和t3得FQFQFQtt33322211141整理上式得：（1）上式表明：多层平壁的稳态导热可以直接采用热阻网络图法求解。δ2/(λ2F2)δ1/(λ1F1)δ4/(λ4F4)t1t4Q若用热流密度表示，则：相应的网络图：总ttttRtRRRtttFQq32133221141niinRttQ111δ2/λ2δ1/λ1δ4/λ4t1t4q相应的网络图：注：（1）多层平板的稳态导热，因沿途传热量不发生变化也可以采用热流密度公式进行推导。（2）接触良好的n层无限大平板传热量为：注意：由于沿途传热面积的变化，这里必须是以热流量Q来计算，q1≠q2+q3，但Q1=Q2+Q3δ2/(λ2F2)δ3/(λ3F3)δ1/(λ1F1)δ4/(λ4F4)t1t4Q相应的网络图：（二）、一维无内热源的圆筒壁的稳态导热假设：忽略轴向导热，只考虑径向导热t=f(r)1、单层圆筒壁的稳态导热在圆筒壁内距离中心r处取厚为dr的圆筒，