破解理科数学导数压轴题：极值点偏移问题的不等式解法

极值点偏移问题的不等式解法我们熟知平均值不等式：,abR2221122abababab即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”等号成立的条件是ab.我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：lnlnabab那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式,abab，lnln2abababab＜＜以下简单给出证明：不妨设ab，设abx，则原不等式变为：2(1)11,ln1xxxxxx以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数()xfxeax有两个零点12xx，则下列说法错误的是A.aeB.122xxC.121xxD.有极小值点0x，且1202xxx【答案】C【解析】函数()fx导函数：'()xfxea有极值点lnxa，而极值(ln)ln0faaaa，ae，A正确.()fx有两个零点：110xeax，220xeax，即：11lnlnxax①22lnlnxax②①-②得：1212lnlnxxxx根据对数平均值不等式：1212121212lnlnxxxxxxxx122xx，而121xx，121xxB正确，C错误而①+②得：12122lnln2lnxxaxxa，即D成立.题目2：（2011辽宁理）已知函数2ln(2)fxxaxax.若函数yfx的图像与x轴交于,AB两点，线段AB中点的横坐标为0x，证明：0'0fx【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设11(,())Axfx，22(,())Bxfx，12xx，则1202xxx，2111ln(2)0xaxax①2222ln(2)0xaxax②①-②得：12121212lnln()()(2)()0xxaxxxxaxx，化简得：12121210()(2)lnlnxxaxxaxx③而根据对数平均值不等式：121212lnln2xxxxxx③等式代换到上述不等式12012011()(2)22(2)xxxaxxaaxa④根据：002(2)0axax（由③得出）∴④式变为：200002(2)10(21)(1)0axaxxax∵0(21)0x，∴01xa，∴0x在函数单减区间中，即：0'()0fx题目3：(2010天津理)已知函数xfxxexR.如果12xx，且12fxfx.证明：122xx.【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设12()()fxfxc，则11xxce，22xxce，12()xx两边取对数11lnlnxxc①22lnlnxxc②①-②得：12121lnlnxxxx根据对数平均值不等式12121212lnlnxxxxxx122xx题目4：（2014江苏南通市二模）设函数xfxeaxaaR，其图象与x轴交于12,0,0AxBx两点，且12xx.证明：120fxx（fx为函数fx的导函数）.【解析】根据题意：110xeaxa，220xeaxa移项取对数得：11ln(1)lnxxa①22ln(1)lnxxa②①-②得：1212ln(1)ln(1)xxxx，即：1212(1)(1)1ln(1)ln(1)xxxx根据对数平均值不等式：121212(1)(1)(1)(1)1ln(1)ln(1)xxxxxx1212(1)(1)1ln(1)(1)0xxxx，①+②得：12122lnln(1)(1)2lnxxaxxa根据均值不等式：1212ln2xxxxa∵函数()fx在(,ln)a单调递减∴12'()0fxx题目5：已知函数()lnfxxx与直线ym交于1122(,),(,)AxyBxy两点.求证：12210xxe【解析】由11lnxxm，22lnxxm，可得：11lnmxx①，22lnmxx②①-②得：211212121212lnln()lnlnlnlnlnlnxxxxmxxmxxxxxx③①+②得：211212(lnln)lnlnmxxxxxx④根据对数平均值不等式121212()2lnlnxxmxxxx利用③④式可得：121212(lnln)2lnlnlnlnmxxmxxxx由题于ym与lnyxx交于不同两点，易得出则0m∴上式简化为:212ln()2lnxxe∴12210xxe