导数证明不等式题型全

导数题型一：证明不等式不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,传统证明不等式的方法技巧性强,多数学生不易想到,并且各类不等式的证明没有通性通法.随着新教材中引入导数,这为我们处理不等式的证明问题又提供了一条新的途径,并且在近年高考题中使用导数证明不等式也时有出现,但现行教材对这一问题没有展开研究,使得学生对这一简便方法并不了解.利用导数证明不等式思路清晰,方法简捷,操作性强,易被学生掌握。下面介绍利用单调性、极值、最值证明不等式的基本思路，并通过构造辅助函数，证明一些不等式。一．构造形似函数型例1．求证下列不等式（1）)1(2)1ln(222xxxxxx),0(x（相减）（2）xx2sin)2,0(x（相除两边同除以x得2sinxx）（3）xxxxtansin)2,0(x（4）已知：)0(x，求证xxxx11ln11；（换元：设xxt1）（5）已知函数()ln(1)fxxx，1x，证明：11ln(1)1xxx巩固练习：1.证明1x时，不等式xx1322.0x，证明：xex13.0x时，求证：)1ln(22xxx4.证明:).11(,32)1ln(32xxxxx　　5.证明:331anxxxt，)2,0(x.二、需要多次求导例2.当)1,0(x时,证明:22)1(ln)1(xxx例3.求证:x＞0时,211x2xex例4.设函数f(x)＝lnx＋2ax2－(a＋1)x(a0，a为常数)．若a＝1，证明：当x1时，f(x)12x2－21xx－x.三、作辅助函数型例5.已知：a、b为实数，且b＞a＞e,其中e为自然对数的底，求证：ab＞ba.例6.已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函数f(x)的最大值；(ii)设0ab,证明0g(a)+g(b)-2g(2ba)(b-a)ln2.巩固练习6、证明(1))0(lnbaaababbab(2)0,0ba,证明babababa)2(（3）若2021xx,证明:1212tantanxxxx四、同增与不同增例7.证明：对任意21ln0,1eexxxxx.例8.已知函数1()1,()lnxxfxgxxxe证明：21(ln)()1xxfxe.五、极值点偏移（理科）例9.已知函数．如果且证明．例10.已知函数()(1)exfxxxR，，其中e是自然对数的底数.若12xx，且12()()fxfx，求证：124.xx六、放缩法例11.已知：2nNn且，求证：11211ln13121nnn。例12.当2n且*Nn时，证明：nnlnln13ln12ln1.例13.求证：（）．()()xfxxexR12,xx12()(),fxfx122xx121715131)1ln(nnn*N巩固练习7.证明:对任意的正整数n,不等式34249…21ln(1)nnn都成立.8.已知nN且3n，求证:n+11111ln++++3345n.9.求证：ln2ln3ln4234×…×lnnn1n(n≥2，n∈N*)．10.证明：对任意的Nn，有)1(2ln1)1ln(22ln11ln2nnnnnn.七、综合题型例13.已知函数()(1)ln1fxxxx.（Ⅱ）证明：(1)()0xfx.例14.a为实数，函数()22,xfxexaxR（1）求()fx的单调区间（2）求证：当12lna且0x时，有221xexax例15.已知函数21()(2)ln2xfxaxxa（0a且1a）.（1）当ae时，求证:()fx在(0,)上单调递增；（2）当21[,][,1)aeee且[1,)t时,求证:2(21)2()3ftfte.