数学必修4综合测试题(内含答案)

数学必修4综合测试题(内含答案)1/6数学必修4综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．下列命题中正确的是（C）A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角相等C．相等的角终边必相同D．不相等的角其终边必不相同2．将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（C）A．3B．－3C．6D．－63．已知角的终边过点mmP34，，0m，则cossin2的值是（B）A．1或－1B．52或52C．1或52D．－1或524、若点(sincos,tan)P在第一象限,则在[0,2)内的取值范围是（B）A.35(,)(,)244B.5(,)(,)424C.353(,)(,)2442D.33(,)(,)2445.若|2|a，2||b且（ba）⊥a，则a与b的夹角是（）（A）6（B）4（C）3（D）1256.已知函数BxAy)sin(的一部分图象如右图所示，如果2||,0,0A，则（）A.4AB.1C.6D.4B7.设集合xyyxA2sin2|)(，，集合xyyxB|)(，，则（）A．BA中有3个元素B．BA中有1个元素C．BA中有2个元素D．BAR８．已知xxx2tan,54cos),0,2(则（）A．247B．247C．724D．7249.同时具有以下性质：“①最小正周期实π；②图象关于直线x＝π3对称；③在[－π6，π3]上是增函数”的一个函数是（）数学必修4综合测试题(内含答案)2/6A.y＝sin(x2＋π6)B.y＝cos(2x＋π3)C.y＝sin(2x－π6)D.y＝cos(2x－π6)10.设i=(1,0),j=(0,1),a=2i+3j,b=ki－4j,若a⊥b，则实数k的值为（）A．－6B．－3C．3D．611.函数)34cos(3)34sin(3xxy的最小正周期为（）A．32B．3C．8D．412.2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是1，小正方形的面积是22cossin,251则的值等于（）A．1B．2524C．257D．－257二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.已知3322cos2sin，那么sin的值为，2cos的值为14.已知|a|=3,|b|=5,且向量a在向量b方向上的投影为125，则a·b=.15.已知向量OPXOBOAOP是直线设),1,5(),7,1(),1,2(上的一点（O为坐标原点），那么XBXA的最小值是___________________16．给出下列6种图像变换方法：①图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的21；②图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍；③图像向右平移3个单位；④图像向左平移3个单位；⑤图像向右平移32个单位；⑥图像向左平移32个单位。请写出用上述变换将函数y=sinx的图像变换到函数y=sin(2x+3)的图像的一个变换______________．(按变换顺序写上序号即可)三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应有证明或演算步骤）17、已知cos(α－2)=19,sin(2)=23,且α∈(2,π),β∈(0,2),求cos2的值.数学必修4综合测试题(内含答案)3/618.(本小题满分12分)已知434，40，53)4cos(，135)43sin(，求sin的值.１９.（本题满分12分）已知向量)23sin23(cosxx，a，)2sin2(cosxx，b，)13(，c，其中Rx．（Ⅰ）当ba时，求x值的集合；（Ⅱ）求||ca的最大值．２０、已知函数.,12sinsin2)(2Rxxxxf（1）求)(xf的最小正周期及)(xf取得最大值时x的集合；（2）在平面直角坐标系中画出函数)(xf在],0[上的图象.数学必修4综合测试题(内含答案)4/621、（本题满分12分）设a、b是两个不共线的非零向量（Rt）（1）记),(31,,baOCbtOBaOA那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？（2）若1201||||夹角为与且baba，那么实数x为何值时||bxa的值最小？22、（本题满分1４分）某沿海城市附近海面有一台风，据观测，台风中心位于城市正南方向200km的海面P处，并正以20km/h的速度向北偏西方向移动（其中19cos20）,台风当前影响半径为10km，并以10km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风影响？影响时间多长？数学必修4综合测试题(内含答案)5/6数学必修4综合测试题参考答案1．C2.D3．B4、B5、B6、C7、A8、D9、C.10、D11、A12、D１３、31，9714、1215．－816．④②或②⑥17、已知cos(α－2)=19,sin(2)=23,且α∈(2,π),β∈(0,2),求cos2的值.18.解：∵434∴42又53)4cos(∴54)4sin(∵40∴4343又135)43sin(∴1312)43cos(∴sin(+)=sin[+(+)]=)]43()4sin[()]43sin()4cos()43cos()4[sin(6563]13553)1312(54[１９解：（Ⅰ）由ba，得0ba，即02sin23sin2cos23cosxxxx．…………4分则02cosx，得)(4π2πZkkx．…………………………………5分∴Zkkxx，4π2π|为所求．…………………………………6分（Ⅱ）22)323(cos||xca2)123(sinx)3π23sin(45x，……………10分所以||ca有最大值为3．……………………………………………………12分２０解：（I）xxxxxxxf2cos2sin)sin21(2sin12sinsin2)(22=)42sin(2x………………………………………………5分所以)(xf的最小正周期是……………………………………………………6分xR，所以当kkxkx(83,2242即Z）时，)(xf的最大值为2.即)(xf取得最大值时x的集合为kkxx,83|{Z}……………………8分（II）图象如下图所示：（阅卷时注意以下3点）数学必修4综合测试题(内含答案)6/61．最小值2)83(f，最小值2)87(f.………………10分2．增区间];,87[],83,0[减区间]87,83[……………………12分3．图象上的特殊点：（0，－1），（1,4），（1,2），)1,(),1,43(………14分[注：图象上的特殊点错两个扣1分，最多扣2分]21、解：（1）A、B、C三点共线知存在实数OBOAOC)1(,使即btaba)1()(31，…………………………………………………4分则21,31t实数………………………………………………………………6分（2）,21120cos||||baba,12||22222xxbaxbxabxa……………………………9分当23||,21取最小值时bxax…………………………………………12分22、解：如右图，设该市为A，经过t小时后台风开始影响该城市，则t小时后台风经过的路程PC＝（20t）km，台风半径为CD＝（10+10t）km，需满足条件：CD≥AC2222222()2||||||2||||cosACPCPAPCPAPAPCACPCPAPAPC22219200(20)22002040000400760020ttt∴222400004007600(1010)ttCDt整理得23007800399000tt即2261330tt解得719t∴7小时后台风开始影响该市，持续时间达12小时。θ20020t10+10t10北APCDE