实验D-倒立摆根轨迹校正仿真与实验

实验D倒立摆系统指定位置控制及根轨迹校正仿真与实验——非稳定性控制系统的校正综合实验实验学时：4实验内容1：倒立摆系统指定位置控制及根轨迹校正仿真，完成其实验数据对比分析。（学时：2）实验内容2：倒立摆系统指定位置控制实验及根轨迹校正实验，完成其实验数据对比分析和实验报告。（学时：2）实验装备：倒立摆系统实验系统说明本实验系统以典型控制理论实验设备直线一级倒立摆为被控对象，通过控制摆杆角度和小车位移，使学生理解和掌握机械控制工程理论的基本原理和应用方法。本实验系统覆盖了机械控制工程理论中的机理法建模、时域法分析和校正、根轨迹法分析和校正、频域法分析和校正、复合校正、状态空间分析和状态反馈六部分内容。实验项目总共十二个，包括：系统建模和稳定性分析频域法复合校正根轨迹校正复合校正的分析及改进PID法校正状态反馈控制频域法校正不同状态下状态反馈控制效果比较根轨迹法复合校正LQR控制PID法复合校正开环频率特性测试其中，综合性实验1.根轨迹法复合校正2.PID法复合校正3.频域法复合校正4.复合校正的分析及改进5.不同状态下状态反馈控制效果比较设计性实验1.根轨迹校正2.PID法校正3.频域法校正4.状态反馈控制5.LQR控制验证性实验1.系统建模和稳定性分析2.开环频率特性测试按控制理论又可分为：经典控制理论1.系统建模和稳定性分析综合性设计性实验比例为77.8%2.根轨迹校正3.PID法校正4.频域法校正5.根轨迹法复合校正6.PID法复合校正7.频域法复合校正8.复合校正的分析及改进9.开环频率特性测试现代控制理论1.状态反馈控制综合性设计性实验比例为100%2.不同状态下状态反馈控制效果比较3.LQR控制实验一系统建模及稳定性分析一、实验目的1、了解机理法建模的基本步骤；2、会用机理法建立直线一级倒立摆的数学模型；3、掌握控制系统稳定性分析的基本方法；二、实验要求1、采用机理法建立直线一级倒立摆的数学模型；2、分析直线一级倒立摆的稳定性，并在MATLAB中仿真验证；三、实验设备1、直线一级倒立摆；2、计算机MATLAB平台；四、实验原理系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。机理建模是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入—输出状态关系。实验建模是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入—输出关系。这里面包括输入信号的设计选取、输出信号的精确检测、数学算法的研究等等内容。对于倒立摆系统，经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，它就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面采用其中的牛顿—欧拉方法建立直线一级倒立摆系统的数学模型。1、受力分析在忽略了空气阻力、各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1.1所示fxx图1.1直线一级倒立摆系统本文中倒立摆系统描述中涉及的符号、物理意义及相关数值如表1.1所示。表1.1直线一级倒立摆系统参数符号意义实际数值M小车质量1.79kgm摆杆质量0.105kgb小车摩擦力系数*0.1N/m/secl摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25mI摆杆惯量0.00219kg*m*mF加在小车上的力x小车位置摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）摆杆与垂直向上方向的夹角sF摆杆受到的水平方向的干扰力hF摆杆受到的垂直方向的干扰力gFsF与hF的合力g重力加速度9.82/sm注意：带*变量表示因倒立摆硬件本体的不同其数值可以存在一定差异图1.2是系统中小车的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。图1.3是系统中摆杆的受力分析图。sF是摆杆受到的水平方向的干扰力,hF是摆杆受到的垂直方向的干扰力，合力是垂直方向夹角为的干扰力gF。图1.2系统中小车的受力分析图注意：在实际倒立摆系统中检测装置和执行装置的正负方向已确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。2、数学模型分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：NxbFxM(1.1)设摆杆受到与垂直方向夹角为的干扰力gF，可分解为水平方向、垂直方向的干扰力，所产生的力矩可以等效为在摆杆顶端的水平干扰力sF、垂直干扰力hF产生的力矩。singSFFcosghFF(1.2)对摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：)sin(22lxdtdmFNS(1.3)即：sinsincos2gFmlmlxmN(1.4)对图1.3摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：)cos(22lldtdmFmgPh(1.5)即：cossincos2mlmlFmgPg(1.6)力矩平衡方程如下：0cossinsincoscossinINlPllFlFgg(1.7)代入P和N，得到方程：0cos2sinsin)2cos(sincos2cossin2222xmlmlmglmlIlFlFgg(1.8)设（是摆杆与垂直向上方向之间的夹角，单位是弧度），代入上式。假设图1.3摆杆受力分析图PNI..θFhFsFgmgα1，则可以进行近似处理：2sin,12cos,0)(,sin,1cos2dtd由于：231mlI方程化为：xmmgmlFg34)cossin(2(1.9)令：)cossin(gfFF则(2.9)式化为xmmgmlFf342(1.10a)式（1.10a）即是化简后的直线一级倒立摆系统微分方程。代入实际数据后，微分方程如式（1.10b）所示。mFxf634.29(1.10b)当忽略了fF，系统的微分方程如式（1.10c）所示。x34.29(1.10c)忽略干扰力后，直线一级倒立摆系统是单输入二输出的四阶系统，考虑干扰力后，直线一级倒立摆系统是二输入二输出的四阶系统。其内部的4个状态量分别是小车的位移x、小车的速度x、摆杆的角度、摆杆的角速度。系统输出的观测量为小车的位移x、摆杆的角度。其控制量为小车的加速度x，fF是直线一级倒立摆运动中各种干扰因素的综合项，可以等效为干扰力考虑。五、实验步骤1、建立系统传递函数：根据系统微分方程（式1.10c），化为关于加速度输入量和角度输出量的传递函数：4.293)()(2ssRs(1.11)2、直线一级倒立摆闭环系统稳定性分析：4.2932s)(sR)(s图1.4闭环系统结构图构建如图1.4所示闭环系统，则系统的闭环极点为（-5.4222）、（5.4222）：由于有实部为正的极点，所以闭环系统不稳定，必须设计控制器使系统稳定。3、仿真在MATLABSimulink中构建图1.4所示系统的仿真程序e1，加入1m/s2的阶跃信号，具体操作步骤如下：1)打开MATLAB/Simulink仿真环境：2)在窗口的左上角点击“”新建一个“Model”窗口：3)在“SimulinkLibraryBrowse”窗口中，打开“Simulink\Continuous”窗口，如下图所示：4)将“TransferFcn”模块拉到刚才新建的“untitled”窗口中：5)双击“TransferFcn”模块，打开如下窗口，参数设置如下图：6)从“Simulink\Sinks”中拉一个“Scope”到“untitled”窗口中：7)从“Simulink\CommonlyUsedBlocks”中拉一个“Sum”到“untitled”窗口中：8)双击“Sum”模块，打开如下窗口，反馈设置如下图：9)从“Simulink\Sources”中拉一个“Step”到“untitled”窗口中：10)按下图连接四个模块，并将文件保存为“e1”，默认格式为mdl。11)点击按钮“”，双击Scope模块，得到系统仿真曲线，此时系统不稳定，发散。六、实验记录将仿真实验数据填入下表内容数据开环系统传递函数闭环系统输入信号闭环系统输出信号七、实验分析及思考题影响系统稳定的因素是闭环系统的极点位置，任意极点位于s右半平面，则系统不稳定。测量系统稳定性的方法之一是加入大小合适的阶跃信号，根据其输出的阶跃响应分析系统的稳定性和其他性能。思考题：根据直线一级倒立摆建模的过程，总结机理法建模的基本步骤；实验二根轨迹校正一、实验目的1、掌握根轨迹分析系统稳定性的方法；2、会用根轨迹法校正直线一级倒立摆；二、实验要求1、采用根轨迹法分析直线一级倒立摆系统的稳定性；2、采用相消法校正直线一级倒立摆系统；三、实验设备1、直线一级倒立摆；2、计算机MATLAB平台；四、实验原理1、根轨迹法分析直线一级倒立摆系统的稳定性直线一级倒立摆单入单出系统的开环传递函数为：4.293)()(2ssRs(2.1)开环系统的极点为：42.5p画出系统闭环根轨迹如图2.1：RootLocusRealAxisImaginaryAxis-6-4-20246-6-4-20246System:hGain:3.03Pole:-4.51Damping:1Overshoot(%):0Frequency(rad/sec):4.51System:hGain:3.03Pole:4.51Damping:-1Overshoot(%):0Frequency(rad/sec):4.51图2.1系统闭环根轨迹图(e2_0.m)由系统根轨迹图可以看出闭环传递函数的一个开环极点位于右半平面，并且闭环系统的根轨迹关于虚轴对称，这意味着无论根轨迹增益如何变化，闭环根总是位于正实轴或者虚轴上，即系统总是不稳定或临界稳定的。2、相消法校正直线一级倒立摆系统对于二阶系统而言，闭环极点距离虚轴越远，系统的调节时间就越短；闭环极点距离负实轴越近，超调量就越小。不妨对系统新增加一个开环零点和一个开环极点，零点为-5.4222，消去倒立摆的开环左极点，增加一个位于20的开环左极点。（注意：不稳定的右极点是不能采用相消法消去的，具体原因可以参考相关资料）控制器为：204222.5)(ssksG(2.2)k为开环增益。控制系统结构图如下：根轨迹图如图2.3，所示RootLocusRealAxis(seconds-1)ImaginaryAxis(seconds-1)-20-100510-50-40-30-20-1001020304050System:hGain:70.1Pole:-7.29+6.99iDamping:0.722Overshoot(%):3.77Frequency(rad/s):10.1System:hGain:70.1Pole:-7.29-6.99iDamping:0.722Overshoot(%):3.77Frequency(rad/s):10.1当k=70时，当加入阶跃激励信号2/1.0sm时，)(s仿真输出如下图：图2.3加控制器后跟轨迹图(e2_1.m)4.2932s)(s——20)4222.5(ssk图2.2加控制器后结构图)(sR00.511.522.533.544.500.020.040.060.080.10.12可以看出系统的性能指标为，调节时间ts=0.7s，超调量8%，系统稳定。从根轨迹图可以看出，适当减小开环增益，在不增大调节时间的前提下，可以降低超调量。五、实验步骤(一)Simulink仿真1)打开MATLAB，点击MATLAB窗口中“”图标进入Simulink环境，Simulink窗口如下：2)点击“”新建一个模型，从“Continuous”中拖一个“TransferFcn”到新建窗口中，双击模块分别设置参数，如图所示。图2.4角度输出仿真图3)从“Continuous”中拖一个“