第5章--非正弦周期信号的傅立叶分析

第5章非正弦周期信号的傅立叶分析1．（1）进一步熟悉谐振回路的选频特性。（2）学会用扫频仪测量频率特性的方法。（3）定性认识方波信号中含有多种频率成分的正弦波。2．（1）实训设备：方波信号发生器一台，中波扫频仪一台，双通道示波器一台，3个由电容、电感组成的选频器，选频器的谐振频率与对应的元件数值见表5-1。电容150pF47PpF18pF电感1.88mH0.67mH0.62mH谐振频率300kHz900kHz1500kHz（2）实训电路与说明：实训电路如图5-1所示。图中T1、T2、T3是3个用调幅收音机中周改制的选频器，可以通过调节电感磁心改变谐振频率，它们可以将信号源中与其谐振频率相等的频率成分选取出来。3个选频器与一电阻串连后接方波信号发生器。T1L1C1u1T2L2C2u2T3L3u3C301215kΩ～＋－3．1）（1）在没有接入方波信号源的情况下，将中波扫频仪的输出探头接在图5-1电路中1，0两端，扫频仪的检波输入探头接在电路中的2，0两端。（2）调节扫频仪的中心频率，使屏幕上显示3个选频回路的谐振曲线。（3）依次调节3个选频器的磁心，使屏幕上显示的谐振曲线中心频率分别为300kHz、900kHz、1500kHz。2）（1）按图5-1将信号发生器接入电路输入端，即1，0两端。打开信号源，将信号选择为方波输出。用示波器的输入探头1接在信号源的输出端，观察信号源输出波形。调节输出频率并用示波器进行测量，使其频率为300kHz，波形图如图5-2所示。tTuUm图5-2（2）用另外一组示波器探头，依次通过u1、u2和u3观察并联回路两端的波形。调节选频器磁心，观测波形的变化，使之成为如图5-3所示的正弦波。UmtTtT4Umπu1t4Um3πu2Tt4Um5πu3T我要放大（3）用示波器测量每一个并联回路两端输出波形的幅值及频率。可以发现：①正弦波的幅值按照一定规律越来越小；②正弦波的频率分别为：等于方波频率、3倍方波频率和5倍方波频率。UmtTtT4Umπu1t4Um3πu2Tt4Um5πu3TNEXT4.（1）通过第2章的讨论我们知道，电感与电容并联可以发生谐振。而在我们所做的实训项目中，输入信号是方波，但在每个并联电路上得到的却是不同频率的正弦波，说明方波中含有正弦波的成分，而且在方波频率点、3倍方波频率点以及5倍方波频率点上分别与3个LC并联回路发生谐振。（2）通过测试并联回路我们可以发现：每个正弦波的频率与所加方波的频率有关，回路1上所得到的正弦波频率与方波的频率相同，我们称其为基波；回路2上所得到的正弦波频率是方波频率的3倍，称为3次谐波，而回路3上所得到的正弦波频率是方波频率的5倍，称为5次谐波。显然，方波中还含有更多的正弦频率成分，或者说，可以将方波分解成许多不同频率的正弦波。5.1非正弦周期信号的产生及其傅立叶分解5.1.1电路中产生非正弦信号的原因（1）当电路中所加激励为非正弦周期信号时，则电路中的响应一般为非正弦的。例如，实验室中经常使用的信号发生器，除产生正弦波信号以外，还可以产生周期性方波、锯齿波等非正弦信号，如图5-4所示。这些非正弦周期信号加到电路中以后，在电路中产生的电流一般也不是正弦波。tTu0tTu0我要放大tTu0tTu0NEXT（2）当一个电路有几个不同频率的正弦（包括直流）激励同时作用时，电路中的电流一般不会是正弦的。例如晶体管交流放大电路就属于这种情形，其中直流电源提供的是直流电压，设输入信号为正弦电压，则电路中的电流既不是直流，也不是正弦交流，而是非正弦周期电流。（3）如果电路中含有非线性元件，即使激励是正弦的，其响应也可能是非正弦周期函数。例如图5-5所示整流电路中，加在输入端的电压是正弦波，但是由于二极管具有单向导电的特性，所以输出电压为非正弦的，如图5-6所示，称为半波整流电压。图5-5半波整流电路图5-6半波整流电路的输入输出波形继续iVDR＋－ui＋－uotTui21T23Ttuo5.1.2非正弦周期量的分解工程上遇到的各种周期函数f（t）总可以分解为如下的傅立叶级数：1022110)sin()2sin()sin()(kkkmmmtkAAtAtAAtf式中，第一项A0是不随时间变化的常数，称为f（t）的恒定分量或直流分量；傅立叶级数的第二项是一个正弦函数：A1msin（ωt+φ1），其幅值为A1m，初相位为φ1，角频率为ω，Ｔ＝2π/ω是ｆ（ｔ）的周期，即该正弦函数的周期与被分解的周期函数相同，ω的系数为1，所以A1msin(ωt+φ1）被称为一次谐波，也叫做基波；傅立叶级数的第三项A2ｍsin（2ωt+φ2）的频率为基波频率的二倍，故称为二次谐波。以此类推，有三次谐波、四次谐波等等。除恒定分量和基波外，其余各项都可统称为高次谐波。因此周期函数分解为傅立叶级数的方法也称为谐波分析。电工中我们经常遇到的各种非正弦周期信号，如方波、锯齿波，三角波，以及二极管半波整流波形、二极管全波整流波形等等，均可以分解为傅立叶级数，表5-2中给出了一些典型周期函数的傅立叶级数表达式，可供进行谐波分析时引用。序号的波形图的傅立叶级数1)(tf)(tfUm0f(t)ω2ππ为奇数ktkktttUtfm)sin15sin513sin31(sin4)(序号的波形图的傅立叶级数23Um0f(t)ω4πtω2π)sin13sin312sin21(sin2)(tkktttUUtfmm)(tf)(tftωUm0f(t)ωπ2πUm－为奇数ktkktttUtfkm)sin)1(5sin2513sin91(sin8)(2212序号的波形图的傅立叶级数45Um0f(t)ωαπtω2πUm0f(t)ω2ππtω为偶数ktkktttUtfm),cos)1)(1(24cos1522cos32sin21()(点击放大)cossin13cos3sin312cos2sin21cos(sin2)(tkkaktatataUaUtfmm点击放大)(tf)(tf序号的波形图的傅立叶级数6为整数ktkttUtfm),cos1412cos151cos3121(4)(2点击放大)(tf)(tfUm0f(t)ω4π2πtω5.2非正弦周期信号的有效值、平均功率5.2.1非正弦周期信号的有效值在2.1.1中我们曾指出：任何周期量的有效值都可以按照方均根值进行计算，tdtfTAT20)(1(5.2)当知道函数f（t）在一个周期内的表达式，便可以直接代入上式来计算有效值。如果已知非正弦周期量的傅立叶级数分解结果，即已知周期量的恒定分量与各次谐波分量，则其有效值也可以根据各分量的量值求出。设非正弦周期函数f（t）的分解结果为式（5.1），将其代入（5.2）式，TkkkmdttkAATA0210)sin(1(5.3)222120122021AAAAAAkkm(5.4)式中kmkmmAAAAAA212121,,22,11二次谐波、…、ｋ次谐波的有效值，这是因为各谐波都是正弦量，其有效值等于振幅的。分别为基波、2/1式（5.4）表明：任意周期函数的有效值等于它的恒定分量与各个谐波分量有效值的平方和的平方根。例5.1已知非正弦周期电流i=［1+0.707sin（ωt-20°）+0.42sin（2ωt+50°）］A，试求其有效值。解给定电流中包括恒定分量和不同频率的正弦量，并且已知各正弦量的振幅，所以周期电流的有效值应为AII16.13.05.01)42.0(21)707.0(21222222例5.2求图5-7所示电压的有效值和平均值。100u/Vt/sT4T点击放大解因为40,104,0TtVuTtTu所以有效值为VTTtTdtTUTT525410010010140402VTTU5.241005.2.2非正弦周期量的平均功率由2.3.2已知，如果任意一个二端网络的端电压为u，电流为i，则其瞬时功率为p=ui如果u与i是同频率的非正弦周期量，其平均功率就是瞬uidttpdtTPTt0011已知电压u和电流i的函数表达式，就可以把它们直接代入（5.5）式计算平均功率。如果电压u与电流i已被分解成傅立叶级数，1010)sin()sin(kkikmkkukmtkIIitkUUu将（5.6）、（5.7）代入（5.5）式，11000coskkkkkkIUIUPPP这就是说，非正弦周期电流电路的平均功率等于恒定分量和各次谐波分别产生的平均功率之和。只有同频率的电压与电流才能形成平均功率。例5.3已知某无源二端网络的端电压及电流分别为AttiVttu)]502sin(424.0)20sin(707.01[)]102sin(6.56)30sin(6.8450[求二端网络吸收的平均功率。解根据式(5.8)可得WP5.78)40cos(1250cos3050)5010cos(2424.026.56)2030cos(2707.026.84150为便于分析和计算,通常可以根据保持平均功率不变的原则,将非正弦周期电压和电流用等效正弦电压和电流来替代。等效的条件是:（1）等效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值；（2）等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的频率；（3）等效正弦量代替非正弦周期电压和电流后，其功率必须等于电路的实际功率。根据条件（1）及（2）首先确定各等效正弦量的频率和振幅（或有效值），再根据条件（3）即可确定等效正弦量的第三个要素——初相位，其表达式如下：UIPcos式中P是非正弦周期电流电路的平均功率，U和I是非正弦周期电压和电流的有效值。例5.4铁心线圈是一种非线性元件，因此将其接在正弦电压上，它所取电流是非正弦周期电流。设加在铁心线圈上的正弦电压为u=311sin314tV，其中电流为i=0.8sin(314t-85°)+0.25sin(942t-105°)A，不是正弦量。试求等效正弦电流。解等效正弦电流的有效值等于非正弦周期电流的有效值，AI593.0225.028.022WIUP8.1085cos28.02311cos1112.85593.023118.10arccosarccosUIPAti)2.85314sin(593.025.3非正弦周期电流的线性电路计算在5.1.2中已经介绍过，非正弦周期电压u（或电流i）可)2sin()sin(2110tUtUUumm当一个非正弦周期信号作用在如图5-8（a）所示的电路中，那么它的作用就和一个直流电压及一系列不同频率的正弦电压串联起来共同作用在电路中的情况一样，如图5-8（b）所示。点击放大iRLC＋－uiRLC＋－u1(b)(a)＋－uC＋－uo)2sin()sin(22211100tUutUuUumm…这样的电源接在线性电路中所引起的电流，可以用叠加定理来计算，即分别计算电压的恒定分量U0和各次谐波分量u1,u2,…单独存在时，在某支路中产生的电流分量I0,i1,i2,…，而后把它们加起来，其和就是该支路的电流，即)2sin()sin(2221110210tItIIiiIimm(5.10)式中I0=0（因为有电容）,RCkLkCkLkRUZUIRCLCLRUZUIRCLCLRUZUIkkmkkmkmmmmmmm1tan,1212tan,2121