两角差的余弦公式

第1页共17页两角差的余弦公式教学目标1．掌握两角差的余弦公式．(重点)2．会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(难点)3．两角差的余弦和两角余弦的差．(易混点)[基础·初探]教材整理两角差的余弦公式阅读教材P124～P126例1以上内容，完成下列问题．cos(α－β)＝cosα·cosβ＋sinα·sinβ．(1)适用条件：公式中的角α，β都是任意角．(2)公式结构：公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(4)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.()解：(1)×.cos(60°－30°)＝cos30°≠cos60°－cos30°.(2)×.当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cosα－cosβ＝cos(－45°)－cos45°＝0，此第2页共17页时cos(α－β)＝cosα－cosβ.(3)√.结论为两角差的余弦公式．(4)√.cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝cos(120°－30°)＝cos90°＝0.答案：(1)×(2)×(3)√(4)√[小组合作型]利用两角差的余弦公式化简求值(1)cos345°的值等于()A．2－64B．6－24C．2＋64D．－2＋64(2)2cos10°－sin20°sin70°的值是()A．12B．32C．3D．2(3)化简下列各式：①cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；②－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.(1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解．(2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解．第3页共17页(3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公式的逆用．解：(1)cos345°＝cos(360°－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋24.(2)原式＝2cos（30°－20°）－sin20°sin70°＝2cos30°·cos20°＋2sin30°·sin20°－sin20°sin70°＝3cos20°sin70°＝3sin70°sin70°＝3.(3)①原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos45°＝22，所以原式＝22；②原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝32.答案：(1)C(2)C(3)①22②321．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式第4页共17页的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．[再练一题]1．求下列各式的值：(1)cos13π12；(2)sin460°sin(－160°)＋cos560°cos(－280°)；(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)sin(40°＋α)．解：(1)cos13π12＝cosπ＋π12＝－cosπ12＝－cos3π12－2π12＝－cosπ4－π6＝－cosπ4cosπ6＋sinπ4sinπ6＝－22×32＋22×12＝－6＋24.(2)原式＝－sin100°sin160°＋cos200°cos280°＝－sin100°sin20°－cos20°cos80°＝－(cos80°cos20°＋sin80°sin20°)＝－cos60°＝－12.(3)cos(α－20°)cos(40°＋α)＋sin(α－20°)·sin(40°＋α)＝cos[(α－20°)－(α＋40°)]第5页共17页＝cos(－60°)＝12.已知三角函数值求角已知α，β为锐角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5143，求β.本题是已知三角函数值求角的问题．解答此类问题一般先确定所求角的某一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小．解：∵α为锐角，且cosα＝17，∴sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.又α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．又sin(α＋β)＝5143sinα，∴α＋β∈π2，π.∴cos(α＋β)＝－1－sin2（α＋β）＝－1－51432＝－1114.∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.又β为锐角，∴β＝π3.1．这类问题的求解，关键环节有两点：(1)求出所求角的某种三角函数值；(2)确定角的范围，一旦做好第6页共17页这两个环节，结合三角函数的性质与图象，角可求解．2．确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范围确定．[再练一题]2．已知α、β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，求α－β的值．解：∵α、β均为锐角，∴sinα＝55，sinβ＝31010.∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.又sinαsinβ，∴0αβπ2，∴－π2α－β0.故α－β＝－π4.[探究共研型]利用角的变换求三角函数值探究1若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？【提示】cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)·sinβ.探究2利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？【提示】cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sin第7页共17页α·sin(α－β)．探究3若cosα－cosβ＝a，sinα－sinβ＝b，则cos(α－β)等于什么？【提示】cos(α－β)＝2－a2－b22.若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2的值为()A．33B．－33C．539D．－69把α＋β2看成α与β2之和，从已知条件中求出α与β2的正、余弦的值，然后运用和角的余弦公式，思路很流畅但运算量繁杂且大．求解此类问题的关键是：先从题设的条件与结论中寻找角的变形的目标，再利用同角三角函数的基本关系式求出正弦值、余弦值，最后利用和(差)角的余弦公式解题．解：∵0απ2，－π2β0，∴π4α＋π43π4，π4π4－β2π2，又∵cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，∴sinπ4＋α＝223，sinπ4－β2＝63，第8页共17页∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.故选C．答案：C巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角．主要针对已知某些角的三角函数值，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要善于观察．常见的“变角”有：①单角变为和差角，如α＝(α－β)＋β，β＝α＋β2－α－β2等；②倍角化为和差角，如2α＝(α＋β)＋(α－β)等等．[再练一题]3．设cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cosα＋β2的值．解：∵α∈π2，π，β∈0，π2，∴α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2，∴sinα－β2＝1－cos2α－β2＝1－181＝459，cosα2－β＝1－sin2α2－β第9页共17页＝1－49＝53.∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527.[构建·体系]1．cos65°cos35°＋sin65°sin35°等于()A．cos100°B．sin100°C．32D．12解：原式＝cos(65°－35°)＝cos30°＝32.答案：C2．若a＝(cos60°，sin60°)，b＝(cos15°，sin15°)，则a·b＝()A．22B．12C．32D．－12解：a·b＝cos60°cos15°＋sin60°·sin15°第10页共17页＝cos(60°－15°)＝cos45°＝22.答案：A3．已知锐角α、β满足cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，则cosβ等于()A.3365B.－3365C.5475D.－5475解：因为α、β为锐角，cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sinα＝45，sin(α＋β)＝1213.所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A．答案：A4．sin75°＝________.解：sin75°＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°·cos30°＋sin45°·sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.第11页共17页答案：6＋245．α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，求cosα的值．解：因为α，β为锐角，所以0α＋βπ.又因为cos(α＋β)＝1213，所以0α＋βπ2，所以02α＋βπ.又因为cos(2α＋β)＝35，所以02α＋βπ2，所以sin(α＋β)＝513，sin(2α＋β)＝45，所以cosα＝cos[(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)·cos(α＋β)＋sin(2α＋β)·sin(α＋β)＝35×1213＋45×513＝5665.学业分层测评[学业达标]一、选择题1．(2016·鞍山高一检测)cos78°cos18°＋sin78°sin18°的值为()A．12B．13第12页共17页C．32D．33解：原式＝cos(78°－18°)＝cos60°＝12.答案：A2．已知sinα＝13，α是第二象限角，则cos(α－60°)为()A．－3－222B．3－226C．3＋226D．－3＋226解：因为sinα＝13，α是第二象限角，所以cosα＝－223，故cos(α－60°)＝cosαcos60°＋sinαsin60°＝－223×12＋13×32＝－22＋36.答案：B3．(2016·梅州高一检测)若12sinx＋32cosx＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是()A．－π6B．－π3C．π6D．π3解：对比公式特征知，cosφ＝32，sinφ＝－12，故只有－π6合适．第13页共17页答案：A4．sinα＝35，α∈π2，π，则cosπ4－α的值为()A．－25B．－210C．－7210D．－725解：因为sinα＝35，α∈π2，π，所以cos