可控性和能控标准型(精)

现代控制理论（第9讲2009年4月18日）可控性/能控性定义能控性判据能控标准型自动化教研室谭功全[e-mail]四川理工自动化教研室为什么要有能控性/能观性概念？•怎样更好地了解和控制系统？•能控性：控制变量对状态变量的支配能力如何?从任意初始状态出发，在有限时间内，通过施加控制作用，能否使系统状态转移至期望终态？•能观性：输出变量对状态变量的反映能力如何?在有限时间内，能否由输出变量的测量值，计算出系统的各个状态？uxyuxxDCBADCBA：),,,([e-mail]四川理工自动化教研室可控/能控性实例猜想ubxaxxax222221111)0(1x1x11a1x2x22a2x)0(2xyu1c2c2b猜想：x1和u无直接间接联系，不能用u改变x1。x2和u有直接联系，u可以控制x2。[e-mail]四川理工自动化教研室可控/能控性实例猜想ubxaxxaxax222222121111猜想：x1和u无直接联系，但通过x2和u有间接联系，u也许可以控制x1。)0(1x1x11a1x2x22a2x)0([e-mail]四川理工自动化教研室可控/能控性实例猜想uxxxx1121122121xi和u有联系就可控吗？猜想：当联系的通道不止一个时，各通道的控制作用之间是否抵消？如果抵消，则会造成u不能控制xi。)0(1x1x21x2x22x)0(2xu1111ttttttttAteeeeeeeee333321ttttApduedBuexx0)(0)(21)(11)(状态方程中强迫响应为)()(21txtxpp强迫响应仅是一维的，不能将初态控制到任意指定态。[e-mail]四川理工自动化教研室能控/可控性定义•在有限时间内，控制作用能否使系统从初始状态转移到期望状态?如果存在一个控制u(t)，能在有限时间间隔[to,tf]内，使系统从其一初态x(to)转移到任意指定的终态x(tf)，则称此状态x(to)是完全可控的，简称系统可（能）控。（只要有一个状态变量不可控，则系统不可控）。如果所有的初始状态都是完全能控的，则称系统是状态完全能控的。[e-mail]四川理工自动化教研室能控/可控性评注1.初态取状态空间任意点，终态取原点，相当于调节实现问题。初态取原点，终态取任意点，相当于跟踪可实现问题。2.对线性定常系统说来，调节问题与跟踪问题等价。3.对于时变系统，可控的时间区间大小与初始时刻有关，对定常系统，可控时间区间与初始时刻无关。故后者不必强调特定时间段。4.定义中的u是没有限制条件的。5.对线性系统作非奇异线性变换（也就是坐标变换），状态空间的原点不变。状态空间中某一点在变换前后分别为x和x’，则u在有限时间内把x转移到原点也就意味着同样的u可以把x’转移到原点。即非奇异变换不改变系统的可控性。6.对不完全可控系统，状态空间可以分解为可控状态子空间及其正交补空间（不可控状态子空间）。7.外扰不影响系统的可控性，输出不涉及可控性。[e-mail]四川理工自动化教研室对角阵中的能控/可控性模态ubb2121xx1x11x2x22x)0(2xu2b)0(1x1bubxxubxx22221111同理。为不可控模态。不可控，称时为可控模态；称自有响应可控，时。显然，、对211112111001xexbexbtt控。维空间，显然系统不可维的，不能充满整个是维，其坐标满足可控子空间为是响应分量之比永远。则两模态相同，强迫、对21::1,:321212121bbxxbb意指定状态。对任意初态可控制到任皆可控，和不为零时，和。当、对2121212xxbb[e-mail]四川理工自动化教研室约当块中的能控/可控性模态ubb211xxubxxubxxx2221211为不可控模态。不可控，称时为可控模态；可控，称时、对ttexbexb2222001是可控的。仍然存在，故系统仍然响，模态受两个通道影，则都可控；若和应模态间接影响，两自由响受，则时。若、ttttexbteexxbb11211200021x1x2x2x)0(2xu2b)0([e-mail]四川理工自动化教研室Agenda•能控性/可控性定义•能控性/可控性判据•变换为能控/可控标准型[e-mail]四川理工自动化教研室能控性判别矩阵LTI连续系统则系统状态完全可控的充要条件是定义能控性判别矩阵思考：单输入、多输入情况下能控矩阵的维数分别是什么？n是系统的阶数uxyuxxDCBADCBA：),,,(][12BABAABBQnCnrankQC[e-mail]四川理工自动化教研室判断对角型是否能控？70021)05050017uxx70002)05050017uxx12700013)0504000175uuxx12700004)0504000175uuxx•各个特征值不同•输入矩阵中每行都不为零，系统能控。[e-mail]四川理工自动化教研室例题：求使系统能控的参数11122121112222122det0ccbbbbbbbbbbbbQbAbQ系统状态方程已知。当输入矩阵如何取值时，系统能控？时系统能控ubb21111xx[e-mail]四川理工自动化教研室判断Jordan型是否能控？•要求：各个Jordan块对应的特征值不同•找到每个Jordan块的最后一行，找出输入矩阵中与之对应的行•如果输入矩阵中对应的行不全为零，系统能控。41001)04040023uxx12410422)0400000230uu[e-mail]四川理工自动化教研室Agenda•能控性/可控性定义•能控性/可控性判据•变换为能控/可控标准型[e-mail]四川理工自动化教研室第二能控标准型4321043210,10000,10000010000010000010bbbbbaaaaaAcb3*2*1*12*1*101*10010001000044444aaaaAAQCbbb系统能控,5CrankQ01223344501223344)()(asasasasasbsbsbsbsbsUsY[e-mail]四川理工自动化教研室第一能控标准型TTTTAAaaaaaAbccbcb00001,,100000100000100000105432143210系统能控,5CQrank01223344501223344)()(asasasasasbsbsbsbsbsUsY5432143210,00001,10000100001000010000TaaaaaAcb[e-mail]四川理工自动化教研室状态变换不改变系统能控性状态变换cxbxxyuAxxPxcbxxyuAxcbxxPyuPAPP11ccccQrankrankQQPQ1bbbb12ncAAAQbbbb12ncAAAQbbbmmAPPAPPAPPA1111)()([e-mail]四川理工自动化教研室状态变换图示bcAxuyxbcAxuyP1P1[e-mail]四川理工自动化教研室能控系统可化为能控标准型•如果系统能控，则一定能通过状态变换，将系统化为能控标准型系统能控，即能控阵满秩一定存在非奇异的线性变换x=Px使得变换后的系统成为能控标准型cxbxxSISOyuAbbbb12ncAAAQxcbxxPyuPAPP11[e-mail]四川理工自动化教研室变换为第一能控标准型1、求能控阵2、第一能控标准型为：PPAPPAccbb11111cxbxxyuAbbbb12nCAAAQP[e-mail]四川理工自动化教研室变换为第二能控标准型1、求能控阵3、计算变换矩阵PPAPPAccbb21212,,bbbbAAAQnC212、求特征多项式012211)(ssssAsIsnnn4、计算第二能控标准型111111nnCQP[e-mail]四川理工自动化教研室例题：化为第一能控标准型求能控标准型011,101,4142cbA解：1641810421,1684,4122cQPAAbbTPPAPTPA1231,001,[e-mail]四川理工自动化教研室例题：化为第二能控标准型323210)det(,1684,412232sssAsIAAbb16801218161103211011416018124P1714100,10323210001021212[e-mail]四川理工自动化教研室Recapitulation小结•能控性/可控性定义、能观性定义•如何判断系统是否能控？•把能控的系统化为能控标准型•下次课内容–能观性–对偶原理•作业