第三章指数函数和对数函数-5.1对数函数的概念5.2对数函数的图象和性质

5.1对数函数的概念5.2对数函数y＝log2x的图像和性质§5对数函数1.理解对数函数的概念.2.掌握对数函数的性质.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.4.了解反函数的概念及它们的图像特点.学习目标重点：掌握对数函数的性质.难点：理解对数函数的概念.知识梳理一、对数函数的概念一般地，我们把叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.a叫作对数函数的底数.特别地，称以10为底的对数函数y＝lgx为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y＝lnx为自然对数函数.函数y＝logax(a0，a≠1)(0，＋∞)二、对数函数图像和性质a10a1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x1时，y0，0x1时，y0(4)当x1时，y0，0x1时，y0(5)是(0，＋∞)上的增函数(5)是(0，＋∞)上的减函数三、反函数的概念一般地，像y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)这样的两个函数互为反函数.(1)y＝ax的定义域R，就是y＝logax的值域，而y＝ax的值域(0，＋∞)就是y＝logax的定义域.(2)互为反函数的两个函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与y＝logax(a＞0，且a≠1)的图像关于直线y＝x对称.(3)互为反函数的两个函数的单调性相同，但单调区间不一定相同.一对数函数的概念例1已知对数函数y＝f(x)过点(4,2)，求f12及f(2lg2).解设y＝logax(a＞0，且a≠1)，则2＝loga4，故a＝2，即y＝log2x，因此f12＝log212＝－1，f(2lg2)＝log22lg2＝lg2.常考题型反思与感悟对数函数必须是形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1.(2)底数为大于0且不等于1的常数.(3)对数的真数仅有自变量x.跟踪训练1判断下列函数是不是对数函数？并说明理由.(1)y＝logax2(a＞0，且a≠1)；解∵真数不是自变量x，∴不是对数函数；(2)y＝log2x－1；解∵对数式后减1，∴不是对数函数；(3)y＝logxa(x＞0，且x≠1)；解∵底数是自变量x，而非常数a，∴不是对数函数.(4)y＝log5x.解为对数函数.二对数函数的定义域的应用例2求下列函数的定义域.(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；解由3－x0，3＋x0，得－3x3，∴函数的定义域是{x|－3x3}.(2)y＝log2(16－4x).解由16－4x0，得4x16＝42，由指数函数的单调性得x2，∴函数y＝log2(16－4x)的定义域为{x|x2}.引申探究1.若把例2(1)中的函数改为y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，求定义域.解由x－30，x＋30，得x3.∴函数y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)的定义域为{x|x3}.2.求函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域，相比引申探究1，定义域有何变化？解(x＋3)(x－3)0，即x＋30，x－30或x＋30，x－30，解得x－3或x3.∴函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域为{x|x－3或x3}.相比引申探究1，函数y＝loga[(x＋3)(x－3)]的定义域多了(－∞，－3)这个区间，原因是对于y＝loga[(x＋3)·(x－3)]，要使对数有意义，只需(x＋3)与(x－3)同号，而对于y＝loga(x－3)＋loga(x＋3)，要使对数有意义，必须(x－3)与(x＋3)同时大于0.反思与感悟求含对数式的函数定义域的关键是真数大于0，底数大于0且不为1.如需对函数式变形，需注意真数底数的取值范围是否改变.跟踪训练2求下列函数的定义域.(1)y＝x2－4lgx＋3；解要使函数有意义，需x2－4≥0，x＋30，x＋3≠1，即x≤－2或x≥2，x－3，x≠－2，即－3x－2或x≥2，故所求函数的定义域为(－3，－2)∪[2，＋∞).(2)y＝log(x＋1)(16－4x)；解要使函数有意义，需16－4x0，x＋10，x＋1≠1，即x2，x－1，x≠0，所以－1x2，且x≠0，故所求函数的定义域为{x|－1x2，且x≠0}.(3)y＝log(3x－1)(2x＋3).解要使函数有意义，需2x＋30，3x－10，3x－1≠1，即x－32，x13，x≠23，所以x13且x≠23，故所求函数的定义域为13，23∪23，＋∞.三对数函数单调性的应用命题角度1比较同底对数值的大小例3比较下列各组数中两个值的大小.(1)log23.4，log28.5；解考察对数函数y＝log2x，因为它的底数21，所以它在(0，＋∞)上是增函数，又3.48.5，于是log23.4log28.5.(2)log0.31.8，log0.32.7；解考察对数函数y＝log0.3x，因为它的底数00.31，所以它在(0，＋∞)上是减函数，又1.82.7，于是log0.31.8log0.32.7.(3)loga5.1，loga5.9(a0，且a≠1).解当a1时，y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又5.15.9，于是loga5.1loga5.9；当0a1时，y＝logax在(0，＋∞)上是减函数，又5.15.9，于是loga5.1loga5.9.综上，当a＞1时，loga5.1loga5.9；当0a1时，loga5.1＞loga5.9.反思与感悟比较两个同底数的对数大小，首先要根据底数来判断对数函数的增减性；然后比较真数大小，再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小.对于底数以字母形式出现的，需要对底数a进行讨论.对于不同底的对数，可以估算范围，如log22log23log24，即1log232，从而借助中间值比较大小.跟踪训练3设a＝log3π，b＝log23，c＝log32，则A.a＞b＞cB.a＞c＞bC.b＞a＞cD.b＞c＞a√解析∵a＝log3π＞1，b＝12log23，则12b1，c＝12log3212，∴a＞b＞c.命题角度2求y＝logafx型的函数值域例4函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为________.(0，＋∞)解析f(x)的定义域为R.∵3x0，∴3x＋11.∵y＝log2x在(0，＋∞)上递增，∴log2(3x＋1)log21＝0，即f(x)的值域为(0，＋∞).反思与感悟在函数三要素中，值域从属于定义域和对应关系.故求y＝logaf(x)型函数的值域必先求定义域，进而确定f(x)的范围，再利用对数函数y＝logax的单调性求出logaf(x)的取值范围.A.(0,3)B.[0,3]C.(－∞，3]D.[0，＋∞)跟踪训练4函数y＝3x，x－1，log2x，x≥1的值域为√解析∵当x－1时，03x3－1＝13，当x≥1时，log2x≥log21＝0，∴函数的值域为0，13∪[0，＋∞)＝[0，＋∞).命题角度1画与对数函数有关的函数图像例5画出函数y＝lg|x－1|的图像.四对数函数的图像反思与感悟现在画图像很少单纯描点，大多是以基本初等函数为原料加工，所以一方面要掌握一些常见的平移、对称变换的结论，另一方面要关注定义域、值域、单调性、关键点.跟踪训练5画出函数y＝|lg(x－1)|的图像.命题角度2与对数函数有关的图像变换例6函数f(x)＝4＋loga(x－1)(a0，a≠1)的图像过一个定点，则这个定点的坐标是______.(2,4)解析因为函数y＝loga(x－1)的图像过定点(2,0)，所以函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图像过定点(2,4).反思与感悟y＝f(x)————→向左平移a个单位y＝f(x＋a)，y＝f(x)————→向上平移b个单位y＝f(x)＋b.对具体函数(如对数函数)仍然适用.跟踪训练6已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是A.a1，c1B.a1,0c1C.0a1，c1D.0a1,0c1√解析由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0a1,0c1.1.含有对数符号“log”的函数不一定是对数函数.判断一个函数是否为对数函数，不仅要含有对数符号“log”，还要符合对数函数的概念，即形如y＝logax(a0，且a≠1)的形式.如：y＝2log2x，y＝都不是对数函数，可称其为对数型函数.2.研究y＝logaf(x)的性质如定义域、值域、比较大小，均需依托对数函数的相应性质.log5x5小结3.研究与对数函数图像有关的问题，以对数函数图像为基础，加以平移、伸缩、对称或截取一部分.4.y＝ax与x＝logay的图像是相同的，只是为了适应习惯用x表示自变量，y表示因变量，把x＝logay换成y＝logax，y＝logax才与y＝ax关于y＝x对称，因为(a，b)与(b，a)关于y＝x对称.