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第1页（共17页）不等式参考答案与试题解析一．选择题（共40小题）1．（2015•湖南）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．4【分析】由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值【解答】解：∵+=，∴a＞0，b＞0，∵（当且仅当b=2a时取等号），∴，解可得，ab，即ab的最小值为2，故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的简单应用，属于基础试题2．（2015•山东一模）若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是（）A．2B．3C．4D．5【分析】已知式子变形可得+=1，进而可得4x+3y=（4x+3y）（+）=++，由基本不等式求最值可得．【解答】解：∵正数x，y满足3x+y=5xy，∴=+=1，∴4x+3y=（4x+3y）（+）=++≥+2=5当且仅当=即x=且y=1时取等号，∴4x+3y的最小值是5第2页（共17页）故选：D【点评】本题考查基本不等式求最值，1的代换是解决问题的关键，属基础题．3．（2016•花山区校级学业考试）已知x+y=3，则Z=2x+2y的最小值是（）A．8B．6C．D．【分析】由题意可得Z=2x+2y≥2=2=4，验证等号成立的条件即可．【解答】解：∵x+y=3，∴Z=2x+2y≥2=2=4当且仅当2x=2y即x=y=时取等号，故选：D【点评】本题考查基本不等式，属基础题．4．（2016•乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（）A．6B．5C．4D．3【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵x，y∈R+，且xy=1，∴，∴当且仅当时，取最小值4．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．（2015•泉州校级模拟）若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大值为（）A．B．1C．2D．4【分析】由于a＞0，b＞0，a+2b=2，故可利用基本不等式求ab的最大值．【解答】解：：∵a＞0，b＞0，a+2b=2∴∴ab当且仅当a=2b=1即a=1，b=时取等号第3页（共17页）∴ab的最大值为故选A【点评】本题以等式为载体，考查基本不等式，关键是注意基本不等式的使用条件：一正，二定，三相等．6．（2011•重庆）已知a＞0，b＞0，a+b=2，则的最小值是（）A．B．4C．D．5【分析】利用题设中的等式，把y的表达式转化成（）（）展开后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（当且仅当b=2a时等号成立）故选C【点评】本题主要考查了基本不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．7．（2013•福建）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2]B．[﹣2，0]C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围．【解答】解：∵1=2x+2y≥2•（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．第4页（共17页）8．（2016•合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（）A．7B．8C．9D．10【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b都是正数，则=5++≥5+2=9，当且仅当b=2a＞0时取等号．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9．（2010•重庆）已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A．3B．4C．D．【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用代入已知条件，化简为函数求最值．【解答】解：考察基本不等式，整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4故选B．【点评】此题主要考查基本不等式的用法，对于不等式在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意．10．（2009•天津）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A．8B．4C．1D．【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，，第5页（共17页）当且仅当即时“=”成立，故选择B．【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．11．（2015•湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（）A．B．4C．D．6【分析】利用基本不等式的性质、指数运算性质即可得出．【解答】解：∵x+3y=2，则3x+27y≥===6，故选：D．【点评】本题考查了基本不等式的性质、指数运算性质，属于基础题．12．（2016•南昌校级二模）若正数a，b满足：则的最小值为（）A．2B．C．D．1【分析】由题意可得b=且a﹣1＞0，代入消元并化简可得=+，由基本不等式可得．【解答】解：∵正数a，b满足，∴b=，由b=＞0可得a﹣1＞0，∴=+=+=+≥2=2当且仅当=即a=b=3时取等号故选：A【点评】本题考查基本不等式求最值，消元并转化为可用基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．第6页（共17页）13．（2015•江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8C．9D．12【分析】由不等式，解得﹣2＜x＜﹣1．可得a=﹣2，b=﹣1．由于点A（﹣2，﹣1）在直线mx+ny+1=0上，可得2m+n=1．再利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：不等式⇔（x+2）（x+1）＜0，解得﹣2＜x＜﹣1．∴不等式的解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}，∴a=﹣2，b=﹣1．∵点A（﹣2，﹣1）在直线mx+ny+1=0上，∴﹣2m﹣n+1=0，化为2m+n=1．∵mn＞0，∴==5+=9，当且仅当m=n=时取等号．∴的最小值为9．故选：C．【点评】本题考查了分式不等式的解法、基本不等式的性质，属于基础题．14．（2016•安庆二模）已知a＞0，b＞0，，则的最小值为（）A．4B．C．8D．16【分析】先求出ab=1，从而求出的最小值即可．【解答】解：由，有ab=1，则，故选：B．【点评】本题考查了基本不等式的性质，是一道基础题．第7页（共17页）15．（2011•重庆）若函数f（x）=x+（x＞2），在x=a处取最小值，则a=（）A．1+B．1+C．3D．4【分析】把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时x的取值．【解答】解：f（x）=x+=x﹣2++2≥4当x﹣2=1时，即x=3时等号成立．∵x=a处取最小值，∴a=3故选C【点评】本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力．16．（2016•湘阴县一模）函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx﹣ny﹣1=0上，其中m＞0，n＞0，则的最小值为（）A．4B．5C．6D．【分析】由指数函数可得A坐标，可得m+n=1，整体代入可得=（）（m+n）=3++，由基本不等式可得．【解答】解：当x﹣1=0即x=1时，ax﹣1﹣2恒等于﹣1，故函数f（x）=ax﹣1﹣2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（1，﹣1），由点A在直线mx﹣ny﹣1=0上可得m+n=1，由m＞0，n＞0可得=（）（m+n）=3++≥3+2=3+2当且仅当=即m=﹣1且n=2﹣时取等号，故选：D．【点评】本题考查基本不等式求最值，涉及指数函数的性质，属基础题．17．（2015•北京模拟）如果a＞0，那么的最小值为（）A．2B．C．3D．4【分析】利用基本不等式的性质即可得出．第8页（共17页）【解答】解：∵a＞0，∴+2=4，当且仅当a=1时取等号．∴的最小值是4．故选：D．【点评】考查了基本不等式的性质，属于基础题．18．（2016•江西模拟）已知正整数a，b满足4a+b=30，使得+取最小值时，则实数对（a，b）是（）A．（5，10）B．（6，6）C．（10，5）D．（7，2）【分析】利用4a+b=30与+相乘，展开利用均值不等式求解即可．【解答】解：∵正数a，b满足4a+b=30，∴+=（4a+b）（+）=（4+1++）≥，当且仅当=，即当a=5，b=10时等号成立．故选：A．【点评】利用基本不等式求函数最值是高考考查的重点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等．同时注意灵活运用“1”的代换．19．（2016•济宁二模）已知x＞0，y＞0，且+=1，若2x+y＞m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．（8，+∞）B．[8，+∞）C．（﹣∞，8）D．（﹣∞，8]【分析】先把2x+y转化为（2x+y）（+）展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据2x+y＞m恒成立，求得m＜8即可．【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=1，∴（2x+y）（+）=4++≥4+2=8，当且仅当x=2，y=4时取等号，∵2x+y＞m恒成立，第9页（共17页）∴m＜8，故选：C．【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力．20．（2011•上海）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2abB．C．D．【分析】利用基本不等式需注意：各数必须是正数．不等式a2+b2≥2ab的使用条件是a，b∈R．【解答】解：对于A；a2+b2≥2ab所以A错对于B，C，虽然ab＞0，只能说明a，b同号，若a，b都小于0时，所以B，C错∵ab＞0∴故选：D【点评】本题考查利用基本不等式求函数的最值时，必须注意满足的条件：已知、二定、三相等．21．（2015•沈阳模拟）正数a，b满足ab=1，则a+2b的最小值为（）A．B．2C．D．3【分析】由题意可得a+2b≥2=2，验证等号成立的条件即可．【解答】解：∵正数a，b满足ab=1，∴a+2b≥2=2当且仅当a=2b时取等号，∴a+2b的最小值为2故选：B【点评】本题考查基本不等式，属基础题．22．（2015•淮北二模）若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）第10页（共17页）A．B．3C．D．4【分析】首先分析题目由已知x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，求x+2y的最小值，猜想到基本不等式的用法，利用a+b≥2代入已知条件，化简为函数求最值【解答】解：考察基本不等式x+2y=8﹣x•（2y）≥8﹣（）2（当且仅当x=2y时取等号）整理得（x+2y）2+4（x+2y）﹣32≥0即（x+2y﹣4）（x+2y+8）≥0，又x+2y＞0，所以x+2y≥4（当且仅当x=2y时取等号），则x+2y的最小值是4，故选：D．【点评】本题主要考查基本不等式的用法，对于不等式a+b≥2在求最大值最小值的问题中应用非常广泛，需要同学们多加注意，属于基础题．23．（2015•曲阜市校级模拟）若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（）A．B．C．D．【分析】先对已知等式整理表示出y，带入x+2y，利用基本不等式求得最小值．【解答】解：∵x2+6xy﹣1=0，∴y=，∴x+2y=x+=x+≥，当且仅当=，即x=时，取等号．故选A．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用，解题的关键是消元，转化成关于x的表达式求得最小值．24．（2015•香坊区校级学业考试）若实数x、y满足=1，则x2+2y2有（）A．最大值3+2B．最小值3+2C．最大值6D．最小值6【分析】由题意可得x2+2y2=（