3.3几何概型

教学目标：1、学生能够正确区分几何概型及古典概型；2、学生初步掌握并运用几何概型解决有关概率的基本问题；3、掌握几何概型的概率公式：A=构成事件的几何度量长度、面积或体积实验的全部结果构成的几何度量（长度、面积或体积）()P(A)教学重点与难点重点：几何概型的特点及其几何概型学习的思维过程；难点：几何概型的判断及其概率公式的选择()APA包含基本事件的个数公式：基本事件的总数复习与回顾：1、古典概型的两个特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.2、计算古典概型的公式：那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢?创设情境：2、往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点……这些试验可能出现的结果都是无限多个。1、例如一个人到单位的时间可能是8：00至9：00之间的任何一个时刻；3、取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？分析：从每一个位置剪断都是一个基本事件，剪断位置可以是3m绳子上的任意一点，并且每一点被剪的可能性相等。把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于1m.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率有多大？发1事件A生的概率P（A）=3记“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A.3米1米1米1米与长度成比例问题１：下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问卧室在哪个房间里，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？卧室书房问题2:图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜。哪种情况下甲容易获胜？(1)(2)⑴甲获胜的概率与所在扇形区域的圆弧的长度有关，而与区域的位置无关。在转转盘时，指针指向圆弧上哪一点都是等可能的。不管这些区域是相邻，还是不相邻，甲获胜的概率是不变的。⑵甲获胜的概率与扇形区域所占比例大小有关，与图形的大小无关。问题:甲获胜的概率与区域的位置有关吗？与图形的大小有关吗?甲获胜的可能性是由什么决定的？(1)(2)(3)有一杯1升的水,其中含有1个细菌,用一个小杯从这杯水中取出0.1升,求小杯水中含有这个细菌的概率.问题3分析：细菌在1升水的杯中任何位置的机会是等可能的，但细菌所在的位置却是无限多个的，因而不能利用古典概型。几何概型的定义：•如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.•几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:A=构成事件的几何度量长度、面积或体积实验的全部结果构成的几何度量（长度、面积或体积）()P(A)古典概型几何概型共同点不同点基本事件个数的有限性基本事件发生的等可能性基本事件发生的等可能性基本事件个数的无限性知识串联：两种概型概率公式的联系P(A)=A包含的基本事件的个数基本事件的总数古典概型概率计算公式:几何概型概率计算公式:P(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积)判断下列试验中事件A发生的概度是古典概型，还是几何概型。（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；（2）有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率分析：本题考查的几何概型与古典概型的特点，古典概型具有有限性和等可能性。而几何概型则是在试验中出现无限多个结果，且与事件的几何尺度有关。解：（1）抛掷两颗骰子，出现的可能结果有6×6=36种，且它们都是等可能的，因此属于古典概型；（2）游戏中指针指向B区域时有无限多个结果，而且不难发现“指针落在阴影部分”，概率可以用阴影部分的面积与总面积的比来衡量，即与几何尺度有关，因此属于几何概型．探究规律：()APA=构成事件的区域长度全部结果所构成的区域长度几何概型公式（1）：例1.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间不多于10分钟的概率.分析：因为电台每隔1小时报时一次，他在0~60之间任何一个时刻打开收音机是等可能的，但0~60之间有无穷个时刻，不能用古典概型的公式计算随机事件发生的概率。所以他在哪个时间段打开收音机的概率只与该时间段的长度有关，而与该时间段的位置无关，这符合几何概型的条件。例题讲解0605010203040则事件A发生恰好是打开收音机的时刻位于[50，60]时间段内，因此由几何概型的求概率公式得P（A）=60-5060=16解:设A=等待的时间不多于10分钟即“等待报时的时间不多于10分钟”的概率为.16点评:打开收音机的时刻X是随机的，可以是0~60之间的任何时刻，且是等可能的．我们称X服从[0，60]上的均匀分布，X称为[0，60]上的均匀随机数.0102030405060例2.抛阶砖游戏“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的“金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为3的正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠），便可获奖，许多人纷纷参与此游戏，却很少有人得到奖品，你能用今天所学的数学知识解释这是为什么吗？（假设每次抛的金币都落在阶砖上）分析：不妨先考虑金币与一块阶砖的关系.S33A试验的基本事件是:金币的中心投在由若干个小正方形组成的阶砖面里.设事件A={金币不与小正方形边相碰}Ａ={金币的中心要投在绿色小正方形内}参加者获奖的概率为:()nAPAnS个的面积个的面积解：AS的面积的面积由几何概型的定义知：91=（3－2）232=变式：某公共汽车站，每隔15分钟有一班车发出，且发出前在车站停靠3分钟。（1）求乘客到站候车时间大于10分钟的概率；（2）求候车时间不超过10分钟的概率；（3）求乘客到站立即上车的概率练习:1.两根相距6米的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于2米的概率为.132201011,2]1(2)[1,1]022x、（湖南高考）()在区间[-上随机取一个数x，则x[0,1]的概率为______;在区间上随机取一个数x，cos的值介于到之间的概率为________.13132122223.在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点D,则AD的长小于AC的长的概率为（）B.C.D.A．12C探究规律：几何概型公式（2）：()APA=构成事件的区域面积全部结果所构成的区域面积例3.一海豚在水池中自由游弋，水池为长30m，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸边不超过2m的概率.30m20m2m解：对于几何概型，关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.如图，区域Ω是长30m、宽20m的长方形.图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率.由于区域Ω的面积为30×20=600(m2)，阴影A的面积为30×20－26×16=184(m2).∴P（A）=1842360075A【思维总结】找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积，套用公式从而求得随机事件的概率．30m20m2m在圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0内随机投点，求点与圆心间的距离小于13的概率．例4【思路点拨】确定总结果的图形及面积→确定事件A的图形及面积→计算概率【解】圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆的圆心为C(1,1)，半径r＝1.点与圆心间的距离小于13的区域是以C(1,1)为圆心，以13为半径的圆内部分．故点与圆心距离小于13的概率为P＝π132π·12＝19.变式训练向边长为2的正六边形内任意投掷一点，则该点到正六边形的所有顶点的距离均不小于1的概率是________．解析：如图，根据题意可知，只要点落在图中的空白区域即可，所求的概率是图中空白区域的面积和正六边形的面积之比，故所求的概率为1－2π332×22＝1－3π9.1－3π9几何概型公式（3）：()APA=构成事件的区域体积全部结果所构成的区域体积探究规律：例5：有一杯1升的水，其中含有1个细菌，用一个小杯从这杯水中取出0.1升，求小杯水中含有这个细菌的概率.分析：细菌在这升水中的分布可以看作是随机的，取得0.1升水可作为事件的区域。解：取出0.1升中“含有这个细菌”这一事件记为A,则1.011.0杯中所有水的体积取出水的体积AP一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，求蜜蜂“安全飞行”的概率．例6、【思路点拨】要使这个飞到正方体六个面的距离均大于1，这个点必须在以正方体的中心为中心，棱长为1的正方体内．【解】依题意，在棱长为3的正方体内任意取一点，这个点到各面的距离均大于1.则满足题意的点区域为：位于该正方体中心的一个棱长为1的小正方体．由几何概型的概率公式，可得满足题意的概率为：P＝1333＝127.【思维总结】本题相当于把正方体分割为27块棱长为1的小正方体，蜜蜂位于正中间的一个正方体内．解：到A点的距离小于13的点，在以A为球心，半径为13的球内部，而点又必须在已知正方体内，则满足题意的A点的区域体积为43π×(13)3×18.∴P＝43π×133×1833＝π2×37.变式练习本例条件不变，求这个蜜蜂飞到正方体某一顶点A的距离小于13的概率．几何概型公式（4）：()APA=构成事件的区域角度全部结果所构成的区域角度探究规律：例7探究规律：()APA构成事件的几何度量(长度、面积或体积)试验的全部结果所构成的几何度量(长度、面积或体积)面积全部结果所构成的区域的区域面积构成事件AAP长度全部结果所构成的区域的区域长度构成事件AAP体积全部结果所构成的区域的区域体积构成事件AAP公式（3）：公式（2）：公式（1）：()APA=构成事件的区域角度全部结果所构成的区域角度公式（4）：•对于复杂的几何概型实际问题，解题的关键是要建立概率模型，找出随机事件与所有基本事件相对应的几何度量，把问题转化为几何概型的问题，利用几何概型公式求解。解题方法小结：几何概型的应用变式应用122200302.[,],[,2]xxaxbab设关于的一元二次方程若是从区间中任取一个数是从区间中任取一个数,求上述方程有实根变式应用：的概率.220,020.abxaxbab当时,方程有实根当且仅当≥()|0302abab≤≤≤≤，，试验的全部结果所构成的区域为A222:0.Axaxb设事件为方程有实根解构成事件A的区域为()|0302ababab，，，≤≤≤≤≥所以所求的概率2132222().323PA3.假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是早上7:00~8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？111712228解：设送报人到达时间为x,父亲离开的时间为y,(x,y)可以看成平面中的点,试验结果所构成的区域:Ω={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8}面积SΩ=12=1事件A所构成的区域:A={(x,y)|6.5≤x≤7.5,7≤y≤8,x≤y}面积SA=由几何概型求概率公式,得P(A)=78ASS答:你父亲在离开家前能得到报纸的概率是784.甲,乙两人约定在7时到8时之间在某处会面,并约定先到者应等候另一人20分钟,过时即可离去,求两人会面的概率.解：设甲到达的时间为x，乙到达的时间为y，(x,y)可以看成平面中的点,试验结果所构成的区域:Ω={(x,y)|0≤x≤60,0≤