导数初级篇学生版

癞蛤蟆阿呆有收获的学数学1越努力，越幸运！满分之路系列三导数技巧不一样的导数从这本开始主编：田伟锋癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学1越努力，越幸运！第二篇导数真题篇第一章_导数的几何意义第01讲_导数的几何意义题型01导数的几何意义之在点处的切线问题题型02导数的几何意义之过点切线问题题型03导数的几何意义之公切线问题第二章_导数的应用第02讲_导数的应用之指对处理技巧第02-1节_导数的应用之指、对处理技巧题型04导数的应用之对处理技巧题型05导数的应用之指处理技巧第02-2节_指对混合型不等式处理题型06函数不等式之凹凸反转法题型07函数不等式之基本放缩第03讲_导数的应用之函数单调性、极值与最值题型08导数为一次型函数的单调性及最值题型09导数为⼆次型函数的单调性及最值题型10知函数的单调性求参题型11利用导数研究函数的极值题型12利用导数研究函数的二重最值第04讲_导数的应用之恒成立求参题型第04-1节_恒成立求参之分类讨论题型13恒成立求参之分类讨论题型14恒成立求参之双任意存在问题第04-2节_恒成立求参之端点效应题型15恒成立求参之端点效应题型16恒成立求参之必要性探路题型17恒成立求参之矛盾区间应用第04-3节_恒成立求参之分离参数题型18恒成立求参之分离参数第05讲_导数的应用之隐极值点代换题型19导数的应用之隐极值点代换形式题型20导数的应用之隐极值的值域问题癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学2越努力，越幸运！第06讲_导数的应用之函数的零点题型21函数零点之知零点个数求参题型22函数零点之由参谈论函数零点个数第07讲_导数的应用之数列不等式题型23数列不等式之通项分析法第08讲_导数的应用之双变量不等式题型24二元不等式证明之主元法题型25极值点之韦达定理题型26极值点之极值点偏移导数抽象导函数问题逆构造解不等式和差型导函数积商型导函数指数e^x混合型幂次x^n混合型求函数零点个数求函数极值最值恒成立求参参变分离分离函数必要性探路端点效应分类讨论求最值隐极值代换双任意双存在问题不等式证明一元不等式证明指对处理技巧基本放缩隐零点代换凹凸反转二元不等式证明主元法同构法齐次式法极值点偏移问题对称构造比值代换\差值代换对数均值\指数均值切线构造数列不等式证明函数零点问题求函数零点个数已知零点个数求参找点技巧函数极值最值求函数极值最值已知极值最值求参极值最值范围问题双重最值问题函数单调性常见函数图像含参讨论单调性一次型二次型因式分解型不能因式分解二次求导已知单调性求参可以参变分离不能参变分离几何意义函数性质导数的几何意义在点切线过点切线距离最值直线与曲线最短距离对称曲线最短距离公切线问题公共切点不同切点自由主题基础篇进阶篇癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学1越努力，越幸运！第一讲_导数的几何意义一、知识纵横1.在点00,Pxy处的切线方程基本步骤：1S:确定切点00,Pxy，则00yfx，2S:求导fx，则0kfx，3S:点斜式000yfxfxxx；2.过点,Qab作函数fx的切线方程基本步骤：1S:确定切点00,Pxy，则00yfx，2S:求导fx，则0kfx，3S:点斜式000yfxfxxx，4S:将代入切线方程，则有关于的0x方程000bfxfxax（*），（切线斜率存在时，切线条数=切点个数=（*）根的个数）3.公切线问题一般有两种题型：（1）共切点的公切线已知两定曲线fx，gx有公共点00,Pxy，并在此点有公切线方程，此类题目的求解是解方程组0000fxgxfxgx；（2）不共切点的公切线1S:确定切点，设公切线与yfx的切点为111,Pxfx；2S:求斜率，yfx，11kfx；3S:点斜式确定切线方程，则yfx的切线方程为111yfxxxfx．同理：设公切线与ygx的切点为222,gPxx，则它的切线方程为：222ygxxxgx．4S:公切线应用（斜率相同，截距相等），即12111222fxgxfxxfxgxxgx注意事项（1）斜率不存在的切线；（2）有可能出现⼀条切线对应多个切点的情形，也即切点数目可以与切线条数不⼀致．4.癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学2越努力，越幸运！二、典型例题【题型1函数在点的切线方程】例1.（2008宁夏、海南21）设函数bfxaxx，曲线yfx在点2,2f处的切线方程为74120xy．（1）求yfx的解析式；（2）证明：曲线yfx上任一点处的切线与直线0x和直线yx所围成的三角形面积为定值，并求此定值．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学3越努力，越幸运！例2.（2013国II文21）设函数2exfxx．（1）求fx的极小值和极大值；（2）当曲线yfx的切线l的斜率为负数时，求l在x轴上截距的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学4越努力，越幸运！【题型2导数的几何意义之过点切线问题】例3.（2009国I文21）设函数4236fxxx．（1）讨论fx的单调性；（2）设点P在曲线yfx上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学5越努力，越幸运！例4.（2007国II理22）设函数3fxxx．（1）求曲线yfx在点,Mtft处的切线方程；（2）设0a，如果过点,ab可作曲线yfx的三条切线，证明：abfa．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学6越努力，越幸运！【题型3导数的几何意义之公切线问题】例5.（2016国II16）若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln1yx的切线，则b__________．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学7越努力，越幸运！例6.（2019国II理20）设函数+1ln1xfxxx．（1）讨论fx的单调性，并证明fx有且仅有两个零点；（2）设0x是fx的一个零点，证明曲线lnyx在点00,lnxx处的切线也是曲线exy的切线．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学1越努力，越幸运！第02-1讲指、对数处理技巧一、知识纵横1.对数处理技巧在处理形如lnfxxgx的函数的零点问题或与0的大小比较问题时，我们通常将其转化为lngxfxxfx研究．恰当的运⽤这⼀技巧可以减少求导的次数，提⾼解题效率．2.指数处理技巧（1）eexxfxfxfx，eexxfxfxfx．（2）在处理形如exfxgx的不等式问题时，我们通常将其转化为e1xfxgx或e1xgxfx来研究（此处以0gx为例）．恰当的运⽤这⼀技巧可以减少求导的次数，提⾼解题效率．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学2越努力，越幸运！二、典型例题【题型9导数的应用之对处理技巧】例1.（2011大纲I理20）设函数1ln1fxxxx．（1）若21xfxxax，求a的取值范围；（2）证明：10xfx．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学3越努力，越幸运！例2.（2011新课标文21）设函数ln1axbfxxx，曲线yfx在点1,1f处的切线方程为230xy．（1）求a，b的值；（2）证明：当0x，且1x时，ln1xfxx．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学4越努力，越幸运！例3.（2011新课标理21）设函数ln1axbfxxx，曲线yfx在点1,1f处的切线方程为230xy．（1）求,ab的值；（2）如果当0x，且1x时，ln1xkfxxx，求k的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学5越努力，越幸运！【题型10导数的应用之指处理技巧】例4.设函数eelnxfxxx．（1）求曲线yfx在点1,1f处的切线方程；（2）求证：2efxx．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学6越努力，越幸运！例5.设函数ln1fxxax．（1）讨论fx的单调性；（2）若0,x，0fx恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：当0,x时，eln10xxxx．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学7越努力，越幸运！例6.设函数exafxx．（1）若fx在0,上为增函数，求实数a的取值范围；（2）当1a时，求证：1m，lnfxxxm．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学8越努力，越幸运！例7.设函数exfx,gxmxn．（1）设hxfxgx，当0n时，若函数hx在1,上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数1nxxfxgx，且40nmm，求证：当0x时，1x．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学9越努力，越幸运！例8.（2010年大纲2卷，22）设函数1exfx．（1）证明：当1x时，1xfxx；（2）若0,x，1xfxax恒成立，求a的取值范围．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学1越努力，越幸运！第02-2节指、对数混合处理技巧一、知识纵横1.基本方法（1）指、对数处理技巧；（2）隐零点代换；（3）放缩法；（4）凹凸反转．2.基本放缩（1）对数函数基本放缩11ln1xxx，ln1xx，1lnexx，（2）对数均值不等式ab，lnln2abababab对数均值不等式常用变式2111ln,01212111ln,112xxxxxxxxxxxx，（3）指数函数基本放缩e1xx，eexx，eenxxn，1e01xxx，1e0xxx，21e102xxxx，2311e126xxxx癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学2越努力，越幸运！二、典型例题【题型13函数不等式之主元法】例1.（2018国III文，21）设函数21exaxxfx．（1）求曲线yfx在点0,1处的切线方程；（2）证明：当1a时，e0fx．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学3越努力，越幸运！例2.（2018国I文21）设函数eln1xfxax．（1）设2x是fx的极值点．求a，并求fx的单调区间；（2）证明：当1ea时，0fx．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学4越努力，越幸运！例3.（2013国II理21）设函数elnxfxxm．（1）设0x是fx的极值点，求m，并讨论fx的单调性；（2）当2m时，证明0fx．癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学5越努力，越幸运！【题型14函数不等式之凹凸反转法】例4.（2014国1理21）设函数1eelnxxbfxaxx，曲线yfx在点1,1f处的切线为e12yx.（1）求,ab；（2）证明：1fx.癞蛤蟆阿呆math1573有收获的学数学6越努力，越幸运！【题型15函数不等式之基本放缩】例5.（2011大纲卷22）（1）设函数2ln12xfxxx，证明：当0x时，0fx；（2）从编号1到100的