§5-对数函数--5.1--对数函数的概念--5.2--对数函数y=log2x的图像和性质

§5对数函数5.1对数函数的概念5.2对数函数y=log2x的图像和性质在正整数指数函数中，我们讨论了细胞分裂的问题，得到细胞分裂的个数y和分裂次数x的函数关系，这个函数关系可用来表示.思考:一个这样的细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个细胞或10万个细胞？分裂次数x与细胞个数y之间的函数关系又是什么呢?2()xyxN1.掌握对数函数的概念、反函数的概念.（重点）2.知道对数函数与指数函数互为反函数.3.会画具体的对数函数的图像.（难点）探究点一对数函数的定义(0,1)xyaaa对于一般的指数函数中的两个变量，能不能把y当成自变量，使得x是y的函数？121201(,),.xyaaaxxxyy我们知道，指数函数对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值和它对应；并且时，01a(1)xya2x2y1x1y0yy就是说，指数函数反映了数集R与数集之间的一一对应关系。(0,),.xyRxya可见，对于任意的在中都有唯一的数满足yxy如果把当做自变量，那么就是的函数。(a0,a1).ay这个函数就是x=log0,1,y0.aaa函数x=logy叫做对数函数，这里自变量习惯上，自变量用x表示，y表示函数，所以这个函数就写成aylogx(a0a1)=?且axlogy=对于函数我们把函数叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，）,叫作对数函数的底数.aylogx(a0,a1)=?a3152log,log,logyxyxyx例如都是对数函数。特别地，我们称以10为底的对数函数y=lgx为常用对数函数；称以无理数e为底的对数函数y=lnx为自然对数函数.12下列函数是对数函数的是（）A.y=log2(3x-2)B.y=log(x-1)xC.y=D.y=lnx213logxD(0,1)axaa对数函数是形如y=log的函数，底数是常数，真数是一个简单变量x特别提醒：【即时训练】例1：计算；（1）计算对数函数对应于x取1,2,4时的函数值；（2）计算常用对数函数y=lgx对应于x取1,10,100,0.1时的函数值.2logyx=解：（1）当x=1时，22loglog10yx===当x=2时，22loglog21yx===当x=4时，22loglog42yx===（2）当x=1时，y=lgx=lg1=0当x=10时，y=lgx=lg10=1当x=100时，y=lgx=lg100=2当x=0.1时，y=lgx=lg0.1=-12aa2:(1)ylogx;(2)ylog(4x).例：求下列函数的定义域==-答案:(1){x|x≠0};(2){x|x4}.对数的真数大于0！2210,x0.axx解析：（）要使函数y=log有意义，必须满足即(2)log(4)x40,x4.ayx要使有意义，必须满足即【总结提升】对数函数的定义域即是对数式有意义的x的取值范围,其中需真数大于0,底数大于0且不等于1(1)log(9);1(2)log;31axyxyx=-=-(1){x|x9};1(2答案){x|x且x≠1};3:求下列函数的定义域:【变式训练】探究点二：反函数的定义指数函数和对数函数有什么关系？xya=aylogx(a0,a1)=?指数函数y=ax和对数函数x=logay刻画的是同一对变量x,y之间的关系，在对数函数中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是，值域是R.0(,)axlogy=所不同的是：在指数函数y=ax中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是，值域是R像这样的两个函数叫作互为反函数.(0,)反函数通常情况下，x表示自变量，y表示函数，所以对数函数应该表示为y=logax(a＞0，a≠1)，指数函数表示为y=ax(a＞0，a≠1).因此，(0,1log(0,1xayaaayxaa因此，指数函数是对数函数））的反函数；log(0,1(0,1axyxaayaaa同时对数函数是））指数函数的反函数。例3写出下列对数函数的反函数：（1）y=lgx(2)13ylogx解:（1）对数函数y=lgx,它的底数是10，它的反函数是指数函数y=10x(2)对数函数，它的底数是，它的反函数是指数函数13logyx131()3xy(2)(1)y＝5x例4：写出下列指数函数的反函数5ylogx23logyxx2y3（）解:（1）指数函数y＝5x的底数是5，它的反函数是对数函数（2）指数函数的底数是，它的反函数是对数函数23xy（）23明确底数求下列函数的反函数2.5(1)ylogx=(2)ylogxp=x(3)y1.4=x(4)y()2p=x(1)y2.5=x(2)y=p1.4(3)ylogx=2(4)ylogxp=答案：【变式练习】探究点三：对数函数的图像和性质你能用描点法画出对数函数的图像吗?提示：作图步骤①列表,②描点,③连线.212ylogxylogx和2ylogxx…124…y=log2x…-2-1012…列表描点连线21-1-2124Oyx32114性质：（1）定义域是（2）值域是R（3）图像过特殊点(1,0)（4）在其定义域上是增函数(0,)画y=log2x的图像1412列表描点连线x124210-1-212ylogx=性质：（1）定义域是（2）值域是（3）图像过特殊点（4）在其定义域上是减函数21-1-2124Oyx32114(0,)R(1,0)画y=logx的图像12141222logyyx另一方法:画出函数x=log的图像，再变换为的图像。2log2xaxyaxyxyyy由于指数函数和对数函数所表示的和这两个变量间的关系是一样的，因而函数x=log和的图像是一样的。y=log2x-3-2-10123yx842112字母转换y=2x-3-2-10123xy8421122logxy0y0x0x0y02x20logy2xxyx通常，用表示自变量，把轴、轴的字母表示互换，就得到y=log的图像。y=log2x-3-2-10123yx8421习惯上，x轴在水平位置，y轴在竖直位置，把图翻转，使x轴在水平位置，得到通常的y=log2x的图像。翻转21-1-2124Oyx3y=log2x1.()(0,1)(2)1,()().若函数是函数且的反函数，且则xyfxyaaaffx2.logAx1.2xB12.logCx2.2xDA2()log,f(2)1,log21,2.()log.aafxxafxx解析：由已知知道2.下列四个数中最大的是()A.(ln2)2B.ln(ln2)C.ln2D.ln2【解析】选D.因为0ln21，所以ln(ln2)0，(ln2)2ln2，ln2＝12ln2ln2.D4.函数y=log2(x-2)的定义域为_________.(2,)3.3a-1loga函数y=（）是对数函数，的值为___________.ax233110.1aaa解析：由对数函数的定义知2.3ax-20.解析：由对数函数的定义知，2+定义域为（，）。13(1)logyx=(2)4xy=6.求下列函数的反函数1()3xy=4logyx=答案：答案：5.说出下列各组函数之间的关系：(1)yeln.xyx==和(2)ylgxy10.x==和121(3)()log.2xyyx和解析：由指数函数与对数函数的定义知它们均互为反函数。对数函数概念反函数定义指数函数互为反函数图象天才就是无止境刻苦勤奋地努力。