3.1不等关系与不等式(2)

不等关系与不等式（2）复习引入1.比较两实数大小的理论依据是什么?2.“作差法”比较两实数的大小的一般步骤?如果a＞ba－b＞0;如果a＜ba－b＜0;如果a＝ba－b＝0作差比较法其一般步骤是:作差→变形→判断符号→确定大小.探究（一）：不等式的基本性质思考1：若甲的身材比乙高，则乙的身材比甲矮，反之亦然.从数学的观点分析，这里反映了一个不等式性质，你能用数学符号语言表述这个不等式性质吗？a＞bb＜a（对称性）思考2：若甲的身材比乙高，乙的身材比丙高，那么甲的身材比丙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？a＞b，b＞ca＞c；a＜b，b＜ca＜c（传递性）思考3：再有一个不争的事实：若甲的年薪比乙高，如果年终两人发同样多的奖金或捐赠同样多的善款，则甲的年薪仍然比乙高，这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？a＞ba+c＞b+c（可加性）思考4：还有一个不争的事实：若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数比乙班多.这里反映出的不等式性质如何用数学符号语言表述？a＞b，c＞da+c＞b+d（同向可加性）思考5：如果a＞b，c＞0，那么ac与bc的大小关系如何？如果a＞b，c＜0，那么ac与bc的大小关系如何？为什么？思考6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac与bd的大小关系如何？为什么？a＞b，c＞0ac＞bc；a＞b，c＜0ac＜bca＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd(可乘性)(正数同向不等式的可乘性)a＞b＞0＞(n∈N*)思考7：如果a＞b＞0，n∈N*，那么an与bn的大小关系如何？思考8：如果a＞b＞0，n∈N*，那么与的大小关系如何？nanba＞b＞0an＞bn(n∈N*)(可乘方性)(可开方性)nanb探究（二）：不等式的拓展性质思考1：在等式中有移项法则，即a＋b＝ca＝c－b，那么移项法则在不等式中成立吗？a＋b＞ca＞c－b思考2：如果ai＞bi(i＝1，2，3，…，n)，a1＋a2＋…＋an与b1＋b2＋…＋bn的大小关系如何？ai＞bi(i＝1，2，3，…，n)a1＋a2＋…＋an＞b1＋b2＋…＋bnÞ思考3：如果ai＞bi(i＝1，2，3，…，n)，那么a1·a2…an＞b1·b2…bn吗？ai＞bi＞0(i＝1，2，3，…，n)a1·a2…an＞b1·b2…bn思考4：如果a＞b，那么an与bn的大小关系确定吗？a＞b，n为正奇数an＞bn思考5：如果a＞b，c＜d，那么a＋c与b＋d的大小关系确定吗？a－c与b－d的大小关系确定吗？a＞b，c＜da－c＞b－d思考6：若a＞b，ab＞0，那么的大小关系如何？11ab与a＞b，ab＞011ab不等式的性质对称性—ab传递性—ab，bc可加性—ab推论移项法则—a+cb同向可加—ab，cd可乘性—ab,推论同向正可乘—ab0，cd0可乘方—ab0可开方—ab0(nR+)(nN)baa+cb+cab-ca+cb+dacacbcc0c0acbcanbnnnbaacbd例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：（1）已知ab，ab0，求证：；11ab证明：（1）因为ab0，所以10ab又因为ab，所以11ababab即11ba因此11ab（2）已知ab，cd，求证：a－cb－d；证明：（2）因为ab，cd，所以ab，－c－d，根据性质3的推论2，得a+(－c)b+(－d)，即a－cb－d.（3）已知ab0，0cd，求证：abcd证明：（3）因为0cd，根据（1）的结论得110cd又因为ab0，所以11abcd即abcd例2.已知ab，不等式:（1）a2b2；（2）；（3）成立的个数是（）（A）0（B）1（C）2（D）311ab11abaA例3．设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，则A，B的大小关系是。A≥B（2）若－3ab1，－2c－1，求(a－b)c2的取值范围。因为－4a－b0，1c24，所以－16(a－b)c20例4．（1）如果30x36，2y6，求x－2y及的取值范围。xy18x－2y32，518xy例5．若，求的取值范围。22≤≤,22,022222≤例7.已知0ab,0c,求证:cabcab解:法一:作差比较法∵()()cabccbababaccbaababab∵0,0,0ababab∵0c∴()0cbaab作差变形定符号确定大小∴cabcab例7.已知0ab,0c,求证:cabcab解:法二:巧用不等式的性质(综合法)∵0ab,0c,∴0ab∴11ababab即11ba∴ccba(两边同乘以一个负数不等号方向要改变)从已知出发运用不等式的性质变形继续变形∴cabcab∴ccab∴11ccab课堂练习:用不等号“”或“”填空:⑴,_______abcdacbd;⑵0,0____abcdacbd;⑶330______abab;⑷22110____abab.5、若－6a8,2b3,分别求2a+b,a-b的范围注意：同向不等式不能两边相减4(1)1,1(2)5ff)3(f例6求:的取值范围.已知:函数,)(2caxxf解：因为f(x)=ax2－c,所以(1)(2)4facfac解之得1[(2)(1)]314(2)(1)33affcff所以f(3)=9a－c=85(2)(1)33ff4(1)1,1(2)5ff因为所以8840(2)333f≤≤5520(1)333f≤≤两式相加得－1≤f(3)≤20.练习．已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，58,33mn所以9a－b=(a－b)+(4a－b)5383由－4≤a－b≤－1，得5520()333ab≤≤由－1≤4a－b≤5，得8840(4)333ab≤≤以上两式相加得－1≤9a－b≤20.例8.非负实数x1、x2，且x1+x2≤1，求证：12121111xxxx≥证明：12120,0,1,xxxx≥≥≤121210,10,10xxxx≥≥≥要证:12121111xxxx≥，只要证:221212(11)(11)xxxx≥即证：1212121212221221xxxxxxxxxx≥只要证：120xx≥120xx≥成立，故原不等式也成立。课外练习:1.已知,,,abxyR且11,xyab,求证:xyxayb性质１、如果ab，那么ba；如果ab，那么ba．性质２、如果ab且bc，那么ac．推论：如果ab且bc，那么ac．性质３、如果ab，那么a＋cb＋c；推论、如果a＋bc，那么ac－b；性质６、ab0,且cd0，那么acbd性质4、如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc；性质５、ab,且cd，那么a＋cb＋d性质７、ab0,那么anbn性质8、ab0,那么nnab课堂小结赢在课堂66页4-167页4-268页8、9性质1：如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.性质1表明，把不等式的左边和右边交换位置，所得不等式与原不等式异向，我们把这种性质称为不等式的对称性。常用的基本不等式的性质(对称性)性质2：如果ab，bc，那么ac.证明：根据两个正数之和仍为正数，得00ababbcbc(a－b)+(b－c)0a－c0ac.这个性质也可以表示为cb，ba，则ca.这个性质是不等式的传递性。(传递性)性质3：如果ab，则a+cb+c.证明：因为ab，所以a－b0，因此(a+c)－(b+c)=a+c－b－c=a－b0，即a+cb+c.性质3表明，不等式的两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向.(可加性)a+bca+b+(－b)c+(－b)ac－b.由性质3可以得出推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。（移项法则）推论2：如果ab，cd，则a+cb+d.证明：因为ab，所以a+cb+c，又因为cd，所以b+cb+d，根据不等式的传递性得a+cb+d.几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向。同向不等式可相加性性质5：推论1：如果ab0，cd0，则acbd.性质4：如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，则acbc.证明：因为ab，c0，所以acbc，又因为cd，b0，所以bcbd，根据不等式的传递性得acbd。几个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得的不等式与原不等式同向。(可乘性)性质6：推论2：如果ab0，则anbn，(n∈N+，n1).证明：因为000ababnab个，根据性质4的推论1，得anbn.(可乘方性)性质7：推论3：如果ab0，则，(n∈N+，n1).nnab证明：用反证法，假定，即或，nnab≤nnabnnab根据性质4的推论2和根式性质，得ab或a=b，这都与ab矛盾，因此nnab(可开方性)性质8：