能带理论及其应用

1能带理论的学习及应用14级张鑫方2一、能带理论•我们研究过金属自由电子理论，在那里没有考虑电子间的相互作用及电子与离子实的作用。在考虑电子间的屏蔽效应时，采用独立准电子近似，有其合理性，但仍忽略构成晶格的离子实的作用，所以仍不能说明晶体可以区分为导体、半导体和绝缘体以及导电的本质等基本问题。•但如果严格按照晶体内的实际情况考虑，将是一个复杂的多电子问题。仍需要建立简化模型，方能解决问题。3•考虑到离子实及电子间的相互作用，则提出一种新的简化模型，即单电子近似。•由于电子间的库仑作用很强，如果电子密度高，则每个电子受到其他电子的作用将会接近于平均作用，密度越高越接近。所以可用某种平均势来近似描述电子间的相互作用。再加上离子实产生的周期势，则每个电子都在一个相同的势场中运动，就化成单电子问题。4单电子所处周期性势场图示r)(rVa能带理论是一种绝热近似下的单电子近似理论。5能带理论基本思想具有周期性的晶格结构，因而等效势场V(r)也应具有周期性。理想晶体晶体中的电子是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动，其波动方程为（即单电子薛定谔方程）：为晶格平移矢量。其中nnRRrVrVErVm,222解此方程得到单电子能谱，是由准连续能级组成的能带，所以称为能带理论。6能带理论是一种绝热近似下的单电子近似理论。由于得到的单电子能谱，是由准连续能级组成的能带，故称为能带理论。7能带理论的处理方法（1）电子的共有化运动：认为固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体内运动。（2）微扰处理：在讨论共有化电子运动状态时，假定原子实处在其平衡位置，而把原子实偏离平衡位置的影响看成微扰。8能带理论建立基础(1)绝热近似(2)单电子近似绝热近似：是将电子运动与离子运动分开来考虑：(1)研究离子运动时，认为电子能跟上离子位置变化，不考虑其影响——即晶格振动问题，描述原子或离子围绕平衡位置的小振动问题。(2)研究电子运动时，假定离子实静止在平衡位置上，晶格具有严格周期性，而晶格振动对电子影响当作微扰来处理——即能带理论，研究固体中的电子状态。单电子近似：含有大量电子的体系中，每个电子受到其它电子作用比较接近于平均作用，故用“平均势场”来替代电子的真实相互作用，即每个电子都在一个相同的有效势场中运动。这种方法称为单电子近似，对于晶格，单电子有效势由两部分组成，即晶格离子势和电子间平均作用势。9能带理论是一种近似方法晶体中电子有两类外层价电子能量高；晶体势场较弱；电子行为类似于自由电子；故晶体势场对电子运动的影响看作微扰处理。近自由电子近似内层电子能量低；晶体势场较强；电子基本上围绕原子核运动；故相邻原子的影响看作是微扰处理。紧束缚近似10布洛赫定理•1．布洛赫定理：•具有晶格平移对称性的单电子哈密顿••的本征函数可以表示为•为实数矢量，是一个晶格周期函数1．)(222rVmH)(r)()(ruerrkik)(ru)()(ruRru11对布洛赫定理的说明•（1）布洛赫定理是由于单电子势具有晶格平移周期性的结果。•（2）定理与具体形式无关，是普遍成立的。•（3）布洛赫函数：满足布洛赫定理的波函数称为布洛赫函数。与自由电子的波函数相比，布洛赫函数多了一个晶格周期函数。它相当于自由电子平面波的振幅部分，起调幅的作用。故布洛赫函数是被晶格周期函数调幅的平面波。•（4）布洛赫电子：由布洛赫函数描述的电子称为布洛赫电子。)(rV)(rV)(r)(ru)(ru12能带及其对称性•1．能量本征值•将布洛赫函数带回单电子薛定谔方程得•满足的方程•对于一个给定的，上式可解出无穷多个能量本征值和本征函数（由量子力学解薛定谔方程的本征值）•波矢•（由前面证布洛赫定理时已给出，由边界条件可得出,为整数），•相邻取值相差很小。)(ru)()()]()2(2[222rEururVkkimk)...(),...(),()...(),...(),(,,2,121rrrkEkEkEknkkn333222111bNlbNlbNlk321,,lllk13•2．能带：对于同一个n的由不同的组成许多靠得很近的能级组，称为能带。•3．能带结构对于不同的n，形成单电子能谱。的总体称为晶体的能带结构。所以单电子能谱是由许多能带组成（每个n对应一个能带）。•对一个能带中的是的准连续函数（分立值，靠得很近为准连续）相邻能带和之间可以相接，重叠或分开。•4．禁带（带隙）如果相邻能带之间分开，则出现的能量间隙称为禁带或带隙。1．)(kEnk)(kEn)(kEn)(kEnk)(kEn)(1kEn14出现能隙的物理原因•由于晶格周期场的作用出现能隙。对于近自由电子近似，以自由电子作为零级近似，波函数为平面波。当波矢不满足布拉格条件时，晶格影响弱，电子不受阻碍。电子波在晶体中的传播相当于X射线通过晶体。•当波矢满足布拉格条件（劳厄条件），电子波被晶格的某一族晶面反射，电子不能自由通过，能级发生劈裂。（形成驻波，两个波函数对应两个分布几率峰值两个能量断开。）15E(k)图与能带202fx()gx()hx()kx()15.79.42xk)(kEaa2a3aa2a31234能带禁带内层电子的能带较窄。外层电子的能带较宽。16二、导体、绝缘体与半导体用能带理论可以说明晶体为什么可以区分为导体、绝缘体与半导体.能带的填充与导电性•1．没有外电场时无外电场时，能带中电子的分布是对称的，和状态的电子数相等。电子的平均速度在与处大小相等，方向相反。所以和两个状态中的电子产生的电流相抵消，不产生宏观电流。kkkkkk172．有外场时•（1）能带填满的情况所有电子的状态均以同样速率变化。由于的周期性，使得整个能带电子分布无变化。所以满带在电场作用下不会产生电流。)(kEkvvkkkk18•（2）能带不满能带部分状态被电子占据，在电场作用下，整个电子分布向电场反方向移动。因为有•（a）布洛赫振荡：刚有外场时，由于是的周期函数，故电子速度发生周期性振荡，电子在实空间位置也发生振荡，此效应称为布洛赫振荡。•（b）当电子运动时，受到晶格振动、杂质和缺陷的散射，达到一个稳定的不对称分布，不再振荡。此时，沿电场正反方向电子数不相等，总的电流不为零。edtkd)(kvk19电子与空穴•1．近满带中的电流在近满的能带中，大部分状态被电子占据，只有少量状态是空的。假设在一个能带中只有一个波矢为K的状态是空的，其余状态均被电子占满，缺少一个电子的近满带能导电。电流密度•只有处无电子，故求和不包括。而总的满带状态的速度求和•（对所有K求和就是满带情况，满带时无电流）故)()(kvVekJkk0)()()()(kvVekvVekvVekJkkk)()()(kJkvVekvVekkkk20空穴•上面看到近满带中的电流可表示为•与一个带正电荷的假想粒子以速度运动时所产生的电流相同，所以把近满带中的空状态看成是一种带正电荷的准粒子，称为空穴。与作为空穴的波矢与速度。)()(kvVekJk)(kv)(kv21导体、绝缘体与半导体的区分根据能带的填充情况可判断晶体是否为导体。满带电子不导电，只有不满带的电子才导电。孤立原子中的满壳层电子将填满相应的能带，只需考虑价电子的能带填充情况就可判断晶体的导电性。由于一个能带能容纳2N个电子。•（1）当每个原胞含有奇数个价电子时，必有不满的能带。这种晶体应是导体。例：单价金属，只有一个价电子，填充半个能带。•（2）每个原胞有偶数个价电子时，可填满一个或几个能带。（a）最高满带与最低空带有重叠，晶体仍是导体。（b）满带与空带有较少重叠，只有少量电子从满带转移到空带，导电性能比普通金属差，称为半金属。(c)最高满带与最低空带没有重叠，被禁带分开，这种晶体是绝缘体半导体。22金属（导体）、半导体和绝缘体的能带模型•能带模型如图23三、石墨烯能带结构的紧束缚近似计算紧束缚近似•认为原子结合成晶体后，其价电子仍束缚在原子周围，基本保持原子状态特征，其他原子的影响很弱看成是微扰。这种模型称为紧束缚近似。•这种模型适合于原子间距比较大，价电子波函数重叠很少的晶体，或晶体中束缚比较紧的内层电子。24紧束缚近似的晶格势场AOarmRrmR晶格中格点附近任意点A的电子势能为：mR)()()()(mmRrVRrVrUrUVRrVRrVrURrVmmm)()]()([)(处格点对A处电子的作用；mR其它所有格点对A处电子的作用之和，看成微扰。)(mRrVV注：25石墨烯是由碳六元环组成的二维周期蜂窝状点阵结构，如图1所示。每个碳原子都具有四个价电子，并按平面正三角形等距离的和3个碳原子相连，每个碳原子以sp2杂化和周围的3个碳原子形成3个σ键。26石墨烯的电子能带理论在碳形成晶体时，四个价电子紧紧地束缚在离子周围，因为各原子核对电子的束缚作用强，晶体中的电子状态和孤立原子之间的差别不是特别明显。此时对于材料的电子结构，可以近似考虑电子为孤立原子的电子，并将离子形成的周期性势场看作微扰，也就是紧束缚模型。在石墨烯中，进一步可以考虑费米面能级附近有主要贡献的pz电子。27因此，在紧束缚近似下，只考虑最近林原子间的相互作用，对每一个C原子，它有3个最近临原子的二维向量：带入紧束缚近似的能量一般公式整理得：能带值是相对的，可令=0,则石墨烯的能量本征值：（1）)0,()23,2(23,2321ajaiajaia）（)(0,)23,2()23,2(321二维坐标）（aaaaa)()(mRikmReEkEmZP28结论网上摘取能带图：将Brillouin区六个顶点的数值带入（1）式，可计算出这些点的能量E=0.图说明六个顶点相交。所以石墨烯的价带是满带，导带全空，费米面在价带和导带相交定点处，说明石墨烯是一带隙为零的半导体。29汇报完毕谢谢感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络，如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！