2017清华大学暑期学校学业水平测试模拟题-试卷

2017清华大学暑期学校学业水平测试数学模拟题（满分200分）一、单项选择题：（共8小题，每小题6分，共48分）1．若2ab，则22222()8()abab的值是（）A．-16B．0C．6D．82．方程4422440xyxy表示的图像是（）A．两条平行直线B．两条相交直线C．两条平行直线与一个圆D．两条相交直线与一个圆3．设12,CC是平面上两个彼此外切且半径不相等的定圆，动圆3C与12,CC均外切，则动圆3C的圆心轨迹为（）A．直线B．圆或椭圆C．抛物线D．双曲线的一支4．已知sin2()sin2n，则tan()tan()（）A．11nnB．1nnC．1nnD．11nn5．已知,,满足：coscoscossinsinsin0,则（）A．sin2sin2sin21B．cos3cos3cos30C．cos2cos2cos20D．sin3sin3sin306．数列na共有11项，10a，114a，且11kkaa，1,2,3,,10k.满足这些条件的不同的数列个数为（）A．100B.120C.140D.1607．设有三角形000ABC，做它的内切圆，三个切点确定一个新的三角形111ABC，再做三角形111ABC的内切圆，三个切点确定三角形222ABC，以此类推，一次一次不停地做下去，可以得到一个三角形的序列，它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情况是（）A．等边三角形B．直角三角形C．与原三角形000ABC相似D．以上都不对8．三角形ABC被一条直线分成两部分，若这两部分的周长和面积均相等，则这条直线过三角形（）A．外心B．垂心C．重心D．内心二、填空题（共8小题，每小题8分，共64分）9．外接球的半径为1的正四面体的棱长为________．10．设(0,)x，则函数()1cos1cosfxxx的取值范围是________．11．已知曲线C的极坐标方程2sin，设直线l的参数方程32545xtyt（t为参数），l与x轴的交点为M，N是曲线C上一动点，则MN的最大值是________．12．一个梯形上下底的长度分别为1和4，又两条对角线长为3和4，则梯形的面积是________．13．圆内接四边形ABCD中，136,80,150,102ABBCCDDA则它的外接圆直径为________．14．54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第________张．15．已知函数2fxxaxb与y轴交于点A,与x轴交于点,BC．若ABC外心在直线yx上，则ab________．16．有四副动物拼图，每副一种颜色且各不相同，每副都固定由同一动物的4个不同部分（如头、身、尾、腿）组成．现在拼图被打乱后重新拼成4副完整的拼图，但每一副都不是完全同色的，则符合上述条件的不同的打乱方式种数是________．三、解答题（共88分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（16分）设()fx为实函数，满足()fcc的实数c称为()fx的不动点，设()xfxa（0a且1a）．若()fx恰有两个互不相同的不动点，求a的取值范围．18．（8+14=22分）已知椭圆的两个焦点1:(1,0)F、2(1,0)F，且与直线3yx相切；（1）求椭圆的方程；（2）过焦点1F作相互垂直的两条直线12,ll，分别交椭圆于,PQ及,MN,求四边形PMQN的面积的最大值和最小值．19．（6+10+10=26分）北京采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月有2万个名额．（1）如果每个月摇上的退出摇号，没有摇上的继续进入下月摇号，求每个人摇上需要的平均时间；（2）如果每个月都有2万人补充进摇号队伍，则平均每个人摇上需要多长时间；（3）如果交管所可以控制摇上号的人的比例，使其成为每个季度第一个月摇上的概率为110，第二个月为19，第三个月为18，则平均每个人摇上需要多长时间．20．（12+12=24分）设(,)(1)(1)11xyfxyxyyx，,[0,1]xy．（1）若txy为给定常数（01t），求(,)fxy的最小值（用t表示）；（2）求(,)fxy的最小值．