信号与系统论文

拉普拉斯变换的总结及求解线性微分方程摘要：拉普拉斯变换最重要的两个性质是积分变换和微分变换，文章从阶跃函数和冲击函数入手，来导出拉普拉斯变换。同时还会用到常用的性质，如卷积，平移，对称等，这些性质可以直接由变换的定义导出，具体推导过程可以见参考书。文章重在梳理、总结，同时讨论如何推导拉普拉斯变换和求解线性微分（或）积分方程的方法。关键词：拉普拉斯变换线性方程原函数反演查表拉普拉斯变换的定义傅里叶积分与傅里叶变换存在的条件是原函数()fx在任一区间满足狄里希利条件,并且在(,)区间上绝对可积。这是一个相当强的条件，以致于许多常见的函数（如多项式，三角函数等）都不满足这一条件。因此需要引入——拉普拉斯变换。拉普拉斯变换常用于初始值问题，即已知某个物理量的初始时刻0t的值(0)f，而求解它在初始时刻之后的变化情况()ft，至于它在初始时刻之前的值，我们并不感兴趣，不妨置()0ft(0)t为了获得宽松的变换条件，把()ft加工为()gt，()()tgteft这里te是收敛因子，就是说，正的实数的值选得如此之大，以保证()gt在区间(,)上绝对可积，。于是，可以对()gt实施傅里叶变换()011()()()22ititGgtedtftedt将i记作p，并将()G改记作()2fp，则0()()ptfpftedt（1）其中积分0()ptftedt称为拉普拉斯积分，()fp称为()ft的拉普拉斯变换函数.（1）代表从()ft到()fp的一种积分变换，称为拉普拉斯变换（简称拉式变换），pte称为拉普拉斯变换的核。()G的傅里叶逆变换是1()()()2ititgtGedfied即()1()()2itftfied由ip，有1ddpi所以1()()2iipiftfpedpi()fp又称为像函数，而()ft称为原函数，它们之间的关系常用简单的符号写为()()fpft1()()ftfp拉普拉斯变换的基本性质线性定理若1()ft1()fp，2()ft2()fp，则1122()()cftcft1122()()cfpcfp导数定理'()()(0)ftpfpf积分定理01()()tdtp相似性定理1()()pfatfaa位移定理()()teftfp延迟定理00()()ptfttefp(7)卷积定理若11()()ftfp，22()()ftfp，则1212()()()()ftftfpfp其中12120()()()()tftftfftd拉氏变换中引进了衰减因子，同时又限制了积分域，这使得拉氏变换和傅氏变换中的积分和微分变换有所区别，而这些区别些区别可以归结到两个因数，一是阶跃函数的变换，而是卷积，下面将讨论这种差别。1.卷积卷积的直接定义可以写成下面的形式1212*ftutftutFsFsL因而只有当,1,2iiftftuti，才有1212*ftftFsFsL2.阶跃函数a)拉普拉斯变换中引进了衰减因子，阶跃函数的变换是可以根据定义直接求出来的。1,0utsL实际上由于积分域限制在正时域上因而对于常数1和阶跃函数有相同的变换，即：11,0sLb）积分变换由于10*tfdfftutut，于是有11110*0tfdfftututfFsssLLL对于高阶积分1tnnftfd，有11111110...0...0nnnnnnftftfftffsssssLLLc）微分变换微分是积分的逆过程，因而可以通过积分变换来推导出微分变换。设tgtfd，则dgtftdt，由积分变换式1110tfdfFsssL于是有110dgtggtssdtLL也即*0dgtgttsgtgdtL=LL3.冲击函数傅氏变换和拉氏中冲击函数的变换及其应用相似，这里不再详细讨论，只列出一些性质a)1tLb)nntsLc)*0ftfttsFsfL=Ld)11*0...nnnnnftfttsFssfftL=L拉普拉斯变换的反演有理分式反演法如果像函数是有理分式，只要把有理分式分解成分项分式，然后利用拉普拉斯变换的基本公式，就能得到相应的原函数。例1求21(2)(3)pp的原函数解；先将这个有理分式分解成分项分式，221()(2)(3)1112(2)3fpppppp故有223()tttftetee例2求324293681pppp的原函数。解：324222936()811111132323939pppfppppppp故有33111()cos3sin3223ttfteett查表法许多函数的拉普拉斯变换都制成了表格，从表上直接查找很方便，对于一般常见的像函数，都能查出其原函数，有些像函数，虽然不能直接从表中查出其原函数，但可以利用延迟定理，位移定理和卷积定理，在配合查表而解决其反演问题.例2用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程用拉普拉斯变换求解微分方程，积分方程的步骤可以归纳为以下”三”步，也就是三步求解线性微分，积分方程对方程实施拉普拉斯变换，这变换把初始条件也一并考虑。从变换后的方程解出像函数.。对求出的像函数进行反演，原函数就是原来方程的解。例2两个线圈具有相同的R,L和C.两线圈之间的互感系数为M，在初级线路有直流电源，其电压为0E,今接通初级线路中的电钥K,问次级电路中的电流2j的变化情况如何？解；先写出电路方程1112001tddLjRjjdtMjEdtCdt(2)2221010tddLjRjjdtMjdtCdt（3）还有初始条件1(0)0j2(0)0j第一步对方程进行拉普拉斯变化得到代数方程0121ELpRjMpjCpP(4)2210LpRjMpjCp（5）第二步联立（4）（5）求解像函数2j20222421EMpjMpLpRpC第三步进行反演的把它分解为分项分式，022211112EjLMpRpLMpRpCC查表进行反演得到1221122()sinsinttjtCetCet其中12RLM，22RLM21214RCLMLM22214RCLMLM0112ECLM0222ECLM总结