高中数学必修五25等比数列的前n项和一

主讲老师：陈震2.5等比数列的前n项和(一)复习引入1.等比数列的定义：2.等比数列通项公式：)0,(111qaqaann)0,(1qaqaamnmn复习引入3.{an}成等比数列)0,(1qNnqaann4.性质：若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.复习引入国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏象棋的发明者，于是就问象棋的发明者有什么要求，发明者说:“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，请给我足够的粮食来实现上述要求”.国王不假思索就欣然答应了他的要求.我们看国王能不能满足他的要求，由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是：讲授新课讲授新课1讲授新课12讲授新课1222讲授新课122232讲授新课12223242讲授新课12223242讲授新课这一格放的麦粒可以堆成一座山!!!12223242632632讲授新课由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：分析：讲授新课由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：分析：.2,,2,2,2,16332讲授新课它是以1为首项，公比是2的等比数列，由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：分析：.2,,2,2,2,16332讲授新课它是以1为首项，公比是2的等比数列，由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，共有64格每格所放的麦粒数依次为：麦粒的总数为:分析：636264228421S.2,,2,2,2,16332讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？63326422221S①讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？63326422221S①)22221(22633264S讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？63326422221S①②64633264222222S即)22221(22633264S讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？63326422221S①②64633264222222S即)22221(22633264S由②－①可得：讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？63326422221S①②64633264222222S即)22221(22633264S由②－①可得：)22221()22222(263326463326464SS讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？63326422221S①②64633264222222S即)22221(22633264S由②－①可得：)22221()22222(263326463326464SS这种求和的方法,就是错位相减法!讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？63326422221S①②64633264222222S即)22221(22633264S由②－①可得：)22221()22222(263326463326464SS126464S讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？63326422221S①②64633264222222S即)22221(22633264S由②－①可得：)22221()22222(263326463326464SS126464S＝18446744073709551615讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？63326422221S①②64633264222222S即)22221(22633264S由②－①可得：)22221()22222(263326463326464SS126464S＝18446744073709551615≈1.84×1019讲授新课请同学们考虑如何求出这个和？63326422221S①②64633264222222S即)22221(22633264S由②－①可得：)22221()22222(263326463326464SS126464S＝18446744073709551615≈1.84×1019如果1000粒麦粒重为40克，那么这些麦粒的总质量就是7300多亿吨.根据统计资料显示，全世界小麦的年产量约为6亿吨，就是说全世界都要1000多年才能生产这么多小麦，国王无论如何是不能实现发明者的要求的.等比数列的前n项和公式的推导1一般地，设等比数列a1,a2,a3,…,an…等比数列的前n项和公式的推导1nnaaaaS321一般地，设等比数列a1,a2,a3,…,an…它的前n项和是等比数列的前n项和公式的推导1nnaaaaS321一般地，设等比数列a1,a2,a3,…,an…它的前n项和是11321nnnnqaaaaaaS由等比数列的前n项和公式的推导1nnaaaaS321一般地，设等比数列a1,a2,a3,…,an…它的前n项和是11321nnnnqaaaaaaS由nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111得等比数列的前n项和公式的推导1nnaaaaS321一般地，设等比数列a1,a2,a3,…,an…nnqaaSq11)1(它的前n项和是11321nnnnqaaaaaaS由nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111得等比数列的前n项和公式的推导1nnaaaaS321一般地，设等比数列a1,a2,a3,…,an…nnqaaSq11)1(它的前n项和是11321nnnnqaaaaaaS由nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111得这种求和的方法,就是错位相减法!等比数列的前n项和公式的推导1nnaaaaS321一般地，设等比数列a1,a2,a3,…,an…nnqaaSq11)1(它的前n项和是11321nnnnqaaaaaaS由nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111得∴当q≠1时，qqaSnn1)1(1①等比数列的前n项和公式的推导1nnaaaaS321一般地，设等比数列a1,a2,a3,…,an…nnqaaSq11)1(它的前n项和是11321nnnnqaaaaaaS由nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111得∴当q≠1时，qqaSnn1)1(1①或qqaaSnn11②等比数列的前n项和公式的推导1nnaaaaS321一般地，设等比数列a1,a2,a3,…,an…nnqaaSq11)1(它的前n项和是11321nnnnqaaaaaaS由nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111得∴当q≠1时，qqaSnn1)1(1①当q=1时，等比数列的前n项和是什么？或qqaaSnn11②等比数列的前n项和公式的推导1nnaaaaS321一般地，设等比数列a1,a2,a3,…,an…nnqaaSq11)1(它的前n项和是11321nnnnqaaaaaaS由nnnnnnqaqaqaqaqaqSqaqaqaqaaS1113121111212111得∴当q≠1时，qqaSnn1)1(1①当q=1时，等比数列的前n项和是什么？1naSn或qqaaSnn11②等比数列的前n项和公式的推导2由定义,qaaaaaann12312等比数列的前n项和公式的推导2由定义,qaaaaaann12312qaSaSaaaaaannnnn112132由等比的性质,等比数列的前n项和公式的推导2由定义,qaaaaaann12312qaSaSaaaaaannnnn112132qaSaSnnn1由等比的性质,即等比数列的前n项和公式的推导2由定义,qaaaaaann12312qaSaSaaaaaannnnn112132qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(由等比的性质,即等比数列的前n项和公式的推导2由定义,qaaaaaann12312qaSaSaaaaaannnnn112132qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(由等比的性质,即∴当q≠1时，qqaSnn1)1(1①等比数列的前n项和公式的推导2由定义,qaaaaaann12312qaSaSaaaaaannnnn112132qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(由等比的性质,即∴当q≠1时，qqaSnn1)1(1①或qqaaSnn11②等比数列的前n项和公式的推导2由定义,qaaaaaann12312qaSaSaaaaaannnnn112132qaSaSnnn1qaaSqnn1)1(由等比的性质,即∴当q≠1时，qqaSnn1)1(1①或qqaaSnn11②∴当q＝1时，.1naSn等比数列的前n项和公式的推导3nnaaaaS321等比数列的前n项和公式的推导3)(13211naaaaqannaaaaS321等比数列的前n项和公式的推导3)(13211naaaaqa11nqSannaaaaS321等比数列的前n项和公式的推导3)(13211naaaaqa11nqSa)(1nnaSqannaaaaS321等比数列的前n项和公式的推导3)(13211naaaaqa11nqSa)(1nnaSqaqaaSqnn1)1(nnaaaaS321等比数列的前n项和公式的推导3nnaaaaS321)(13211naaaaqa11nqSa)(1nnaSqa∴当q≠1时，qqaSnn1)1(1①或qqaaSnn11②∴当q＝1时，qaaSqnn1)1(.1naSn等比数列的前n项和公式的推导“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使问题得到解决．等比数列的前n项和公式当q≠1时，.11qqaaSnn当q＝1时，;1naSn或,1)1(1qqaSnn①②等比数列的前n